Secundaria. Segundo grado.

Matemáticas 2 Construcción del pensamiento

Fernández Educación

Figuras y cuerpos

Respuestas del libro

Recuerdo y comienzo

Tracen una figura semejante...

Respuesta:

1.- La suma de los ángulos adyacentes es 180°

2.- Los ángulos opuestos, miden lo mismo entre sí.

3.- Los ángulos adyacentes tienen en común un vértice y uno de sus lados (son consecutivos) y la suma de éstos es de 180º.

-Los ángulos opuestos por el vértice tienen en común un vértice, sus lados son semirrectas opuestas y siempre tienen igual medida, ya que tienen la misma amplitud.


4.- a) Los ángulos adyacentes son ángulos consecutivos y suplementarios que comparten un vértice y un lado.


b) Los ángulos opuestos por el vértice son aquellos cuyos lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro ángulo y comparten el vértice de origen.

Analicen la figura, úsenla para calcular...

Respuesta:

  • Ángulo b = 130º. Ya que son es opuesto por el vértice con el ángulo de 130º, miden lo mismo.
  • Ángulo a = 50º. Ya que es adyacente con el ángulo b, y la sumatoria de estos es 180º. Sabemos que ángulo b vale 130º, por lo tanto = 180º - 130º = 50º.
  • Ángulo c = 50º. Ya que es opuesto por el vértice con el ángulo a y deben de medir lo mismo. Otra explicación, es adyacente con el ángulo b. Sabemos que ángulo b vale 130º, por lo tanto = 180º - 130º = 50º.
Construyo mis conocimientos y habilidades

¿Qué procedimiento se puede usar para verificar...

Respuesta:

En la hoja de papel de Soledad podemos observar que la línea verde cruza las líneas lila y azul, esta línea se conoce como transversal.


Los ángulos correspondientes son dos ángulos que se cortan en dos rectas y son atravesados por una línea transversal, estos ángulos están del mismo lado de la línea transversal, siendo uno interno y el otro externo. Y al ser líneas paralelas, los ángulos correspondientes tienen el mismo valor.


Es por ello que tenemos las siguientes igualdades:

ángulo 1 = ángulo 5

ángulo 2 = ángulo 6

ángulo 3 = ángulo 7

ángulo 4 = ángulo 8

Comparen las figuras que representan los dobleces...

Respuesta:

1.- En el caso de Soledad, las rectas cortadas por la transversal son paralelas entre sí y por eso guardan la misma relación con entre sus ángulos, y por lo que miden lo mismo.


En el caso de Mario,las rectas no son paralelas, y por eso no guardan la misma relación de distancia entre los ángulos correspondientes, por lo que no miden lo mismo.


2.- Experimentos con las hojas de papel.


3.- Los ángulos correspondientes son dos ángulos que se cortan en dos rectas y son atravesados por una línea transversal, estos ángulos están del mismo lado de la línea transversal, siendo uno interno y el otro externo. Y al ser líneas paralelas, los ángulos correspondientes tienen el mismo valor.

Forma, espacio y medida

¿Qué otras parejas de ángulos correspondientes...

Respuesta:

Ángulo 2 y 6

Ángulo 3 y 7

Ángulo 4 y 8

¿Qué relación hay entre las medidas...

Respuesta:

Los ángulos correspondientes miden lo mismo, ya que las líneas son paralelas y están cortadas por una línea transversal, lo que hace que su valor sea exactamente igual.

Analicen las siguientes afirmaciones...

Respuesta:

1.- Los ángulos 1, 2, 7 y 8 son externos, ya que se encuentran en la parte externa de las líneas paralelas. Se encuentran por fuera de las paralelas.


2.- Los ángulos 3, 4, 5 y 6 son internos, ya que se encuentran en la parte interior de las líneas paralelas. Se encuentran dentro del espacio de las paralelas.


3.- Los ángulos 1, 4, 5 y 8 son colaterales, ya que se encuentran del mismo lado de la línea transversal.

¿Qué relación se presenta entre las medidas...

Respuesta:

Los ángulos 3 y 5 miden exactamente lo mismo, ya que son ángulos alternos internos.


Los ángulos alternos internos: estos ángulos están alternados a cada lado de la transversal y están en el interior de las paralelas.

Explica por qué los ángulos...

Respuesta:

1.- Los ángulos 2 y 8 se denominan alternos externos ya que estos están alternados de cada lado de la transversal y es tan al exterior de las paralelas.

  • Los ángulos 1 y 7 también son ángulos alternos externos.


2.- ¿Cómo se pueden nombrar a los ángulos 2 y 7?

Ángulos colaterales externos: Son aquellos que se encuentran del mismo lado de la transversal y fuera de las paralelas.

Analicen la figura que representa...

Respuesta:

1.- Los ángulos 1, 3, 5 y 7 tienen la misma magnitud entre sí. Los ángulos 2, 4, 6 y 8 tienen la misma magnitud entre sí.


2.- 1 y 2.

1 y 4.

2 y 3.

3 y 4.

5 y 6.

5 y 8.

6 y 7.

7 y 8.

Figuras y cuerpos

Para que conozcan el valor de la suma...

Respuesta:

1.-

A + B + C = 180º

P + Q + R = 180º

Considera que la suma de los ángulos...

Respuesta:

1.-

a) Ángulo A = 180º / 3 ángulos = 60º

b) Ángulo B = 180º - 90º del ángulo C - 40º del ángulo A = 50º

c) Ángulo A y B = 180º - 36 = 144º / 2 debido a que miden lo mismo = 72º

d) Ángulo C = 180º - 100º del ángulo B - 30º del ángulo A = 50º

Forma, espacio y medida

¿Cómo se puede justificar que la suma...

Respuesta:

1.- Figura explicativa.


2.- 180º. Porque es la suma de todos los ángulos internos del triángulo, y forman un ángulo llano.


3.-

a) El ángulo A

b) El ángulo B


4.- Porque al trazar una línea paralela al triángulo, podemos encontrar la igualdad de los ángulos alternos internos y ángulos correspondientes, por lo que la sumatoria es igual a 180º.

Te dejo un video rápido con la explicación:


Observen que se ha trazado la recta r...

Respuesta:

1.- La sumatoria de los ángulos 1, 2 y A dan 180º. En correspondencia con los ángulos internos del triángulo.


2.- Ángulo 1 = Ángulo B y Ángulo 2 = Ángulo C, ya que estos ángulos son correspondientes y son alternos internos.


3.- Estableciendo las parejas de igualdades entre ángulos.

Figuras y cuerpos

Para que verifiquen si se cumple...

Respuesta:

1.- Ejercicio práctico


2.- Ejercicio práctico


3.- Para cada cuadrilátero, la suma de sus ángulos interiores siempre será 360°.

También se puede continuar con el siguiente...

Respuesta:

1.- Dado que un cuadrilátero puede formarse de la unión de dos triángulos, y los ángulos internos de un triángulo suman 180°, puede afirmarse que la suma de los ángulos internos del cuadrilátero formado por dos triángulos será siempre 360°.


2.- Se realizan las sumas de los ángulos que se formarían de dividir el cuadrilátero en los dos triángulos que lo forman para sumarlos de manera independiente, llegando al mismo resultado.

Forma, espacio y medida

¿Cuáles relaciones se pueden establecer...

Respuesta:

1.- Aclaración del libro.


2.- Porque forman un ángulo llano, ambos comparten una línea recta opuesta como lado.


3.- Se justifica porque son ángulos suplementarios. "En todo paralelogramo, los ángulos contiguos son suplementarios"


4.- Porque A y B son ángulos suplementarios y la sumatoria es igual a 180º.


5.- Aclaración del libro.

Hagan lo que se pide en...

Respuesta:

1.- Porque al trazar el ángulo complementario de uno (producto de extender la recta que comparten como lado) este ángulo complementario es suplementario del ángulo contiguo, por correspondencia, los ángulos contiguos son suplementarios.


2.-

a) Pueden hacerse dichas afirmaciones ya que:

2 = C son ángulos opuestos por el vértice y miden lo mismo.

2 = 1 Porque son ángulos correspondientes y miden lo mismo.

1 = A Porque 1 es ángulo suplementario de B, por lo que miden lo mismo.


b) Porque los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.

Por lo tanto A = C

Consolido mis competencias

Realiza las actividades indicadas...

Respuesta:

1.-

1 =50º

2 =100º

3 =100º


2.- Si se trazara una recta paralela al lado que une los vértices A y B, por correspondencia de lados y de ángulos alternos internos se obtendrían los ángulos internos formados por los vértices A y B, de forma consecutiva al ángulo C, formando un ángulo llano de 180°.


3.- 95°


4.- La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360º, ya que si divides en 2 partes el cuadrilátero obtienes 2 triángulos y la suma de los ángulos interiores de 1 triángulo es de 180º.

Recuerdo y comienzo

Muchas soluciones, una o ninguna

Respuesta:

2.- Se pueden formar triángulos con:

  • 8, 12 y 5.
  • 20, 12 y 8.
  • 12, 14 y 16.

No se pueden formar triángulos con:

  • 7, 8 y 17.


3.-c) Se pueden formar un número infinito de triángulos correspondientes a cualquier punto en la recta r.


El vértice C debe ubicarse en la recta r justo en la mitad: a media distancia del vértice A y el B, de tal forma que las líneas AC y BC sean iguales entre sí.


Y para formar un triángulo rectángulo, el vértice C debe de colocarse en la recta r a la misma distancia del vértice A, de tal forma que las líneas AC formen un ángulo de 90º. O de otra manera, seria colocar el vértice C en la recta r a la misma distancia del vértice B, de tal forma que las líneas BC formen un ángulo de 90º.

Construyo mis conocimientos y habilidades

Usen el juego...

Respuesta:

a)

La primer figura está formada por una distribución de triángulos isósceles que forman a la vez otras figuras, como cuadrados.

La segunda figura está formada por triángulos escalenos distribuidos de tal forma que comparten un vértice. Formando un rehilete.

La tercera figura está formada por triángulos rectángulos consecutivos que comparten un vértice y cuyos lados compartidos han sido sustituidos por unión.

La cuarta es una estrella de 6 puntas, dentro de un hexágono, formada por triángulos escalenos encontrados que comparten un vértice, y triángulos isósceles que complementan los huecos para formar un hexágono.


b)

En la primera figura, 4 y 4 iguales.

En la segunda, 4 iguales.

En la tercera, 8 iguales, unidos.

En la cuarta 12 iguales y 6 iguales.


c) Los triángulos guardan relación entre sus ángulos y sus lados.

Forma, espacio y medida

Tales de Mileto usaba el siguiente...

Respuesta:

Para calcular la distancia AB, es necesario aplicar la ley de los senos.

Ya que conocemos la distancia de uno de los lados del triángulo: AC, y conocemos la medida de los ángulos.

La ley de los senos es la siguiente:

1.- Tomas dos partes de la ecuación, donde conozcas 3 de los 4 datos.

2.- Sustituyes y despejas para conocer la medida de un lado de triángulo o un ángulo faltante.


Revisen el procedimiento de Tales..

Respuesta:

1.- La longitud AB = 567.39 metros.

Procedimiento:

B / sen b = C / sen c

800 / sen 65º = C / sen 40º, despejamos:

C = (800) (sen 40º) / sen 65º

C o AB = 567.39 metros


2.- Trazos en la libreta


3.- El procedimiento es correcto ya que sigue las leyes de senos y cosenos.

Hagan lo que se indica en cada caso...

Respuesta:

1.- Trazos en la libreta

2.- 1 triángulo rectángulo

3.- Si trazas un triángulo isosceles y lo divides por la mitad, resultan dos triángulos rectángulos.

Figuras y cuerpos

Lean cada uno de los enunciados...

Respuesta:

1.- Trazar una recta BM y prolongarla al doble de su medida original, el final será el punto C, que se podrá unir después al vértice A para completar el triángulo ABC.


2.- Medir el ángulo P y realizar un ángulo con la misma medida partiendo desde la bisectriz PB, marcar la medida y trazar una recta por este nuevo punto, prolongar la recta y el segmento QB hasta que se crucen ambas.


3.- Determinar una línea que pase por el punto B y forme un ángulo recto con r, prolongar su medida al doble en sentido opuesto a la recta r, el final de dicha línea será el punto A y la recta formada será el lado AB, por último, trazar una línea del nuevo punto A al C para formar el triángulo ABC.


4.- El vértice P estará al final de la recta r y el triángulo PQR será resultado de trazar líneas de unión entre Q y R con el nuevo vértice P.

Consolido mis competencias

Realiza las actividades indicadas...

Respuesta:

1.- Trazos y recortes


2.- Trazos con compás


3.- En dos formas, los triángulos ADC y ABC y la pareja DAB y DCB.


4.- Primeramente se determinan los ángulos, después con la ley de senos y cosenos, se conocen las medidas de sus lados.

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