Secundaria. Tercer grado.

Matemáticas Serie Saberes

Pearson

2. Figuras y cuerpos

Respuestas del libro

Comienza a pensar

i. ¿En todos los casos será........

Respuesta:

No, solo en el cuadrado y en el rombo, que son figuras en las que la diagonal es un eje de simetría.

ii. Sin doblar o hacer recortes, ¿Puedes saber en qué......Argumenta tu respuesta

Respuesta:

Sí, por los criterios de congruencia

iii. ¿Cuáles cuadriláteros permiten.....

Respuesta:

El cuadrado, el rectángulo el rombo y el romboide, porque la diagonal permite formar triángulos con sus lados iguales y sus ángulos iguales

b. En cada uno de los cuadriláteros trazados ¿qué sucedería si trazaran figuras........

Respuesta:

Los ángulos correspondientes serán iguales y los lados correspondientes serán proporcionales

Analicemos juntos

a. En cada una de las siguientes figuras ..

Respuesta:

i) No, pueden aplicarse los tres criterios.

b. Explica los pasos que debes seguir para reproducir....

Respuesta:

Determinar la razón de semejanza, trazar los lados y el ángulo comprendido entre ellos, después los ángulos en los extremos de los lados.

i) Sí, criterio LAL.

¿Adónde llegamos?

1. En parejas colaborativas...

Respuesta:

i)

Criterios de Congruencia.

  • Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus ángulos respectivos y el lado entre ellos. En un triángulo si conocemos dos de sus ángulos el tercer ángulo queda unívocamente determinado.
  • Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados iguales y el mismo ángulo comprendido entre ellos.
  • Dos triángulos son congruentes si tienen los tres lados iguales.
  • Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo sobre uno de ellos iguales. Este caso no es de congruencia si no damos más información sobre el triángulo, como la de ser triángulo rectángulo o si tiene o no ángulos obtusos.

Criterios de Semejanza.

  • Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
  • Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
  • Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual.
Algo para aprender

a) Por ejemplo, si M es el punto medio.....

Respuesta:

Triángulo rectángulo congruentes.

b) Establecer una correspondencia entre los vértices....

Respuesta:

i. Porque son los lados iguales del triángulo isóceles.

ii. Porque M es el punto medio del lado AC.

iii. Porque es el mismo segmento.

c) De la igualdad de longitudes de los lados correspondientes ...

Respuesta:

Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes iguales son congruentes por el criterio LLL.

d) Por lo tanto...

Respuesta:

i. Como los triángulos AMB y CMB son congruentes, sus ángulos correspondientes son iguales

ii. El segmento BM es perpendicular al lado AC.

iii. Sí porque es la perpendicular que pasa por el punto medio del lado AC.

iv. Porque una altura es el segmento perpendicular que se traza desde un vértice al lado opuesto.

v. Porque divide al ángulo ABC en dos ángulos iguales.

Algo para aprender

2. En parejas, hagan...

Respuesta:

a)

i. Con triángulos rectángulos

ii. Sí, son los mismos lados del triángulo original.

iii.

iv. ALA

3. Ahora es momento...

Respuesta:

i. A con A, B con L y C con B.

ii. Sí, porque es una relación entre lados correspondientes de triángulos semejantes.

iii. Multiplicar por AB los dos miembros de la igualdad

Algo para aprender

3. Ahora es momento...

Respuesta:

b)

i. A con B, B con L y C con C.

ii. Sí porque es una relación entre lados correspondientes de triángulos semejantes

iii. Sí, multiplicando por BC los dos miembros de la igualdad.


c)

i) Que en el triángulo ABC el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (teorema de Pitágoras).

Utilizo lo que aprendí

1. En equipos, resuelvan...

Respuesta:

a) Sí, su constante de proporcionalidad es 1.


b) i) En el cuadrado AC ⊥ BD, el punto M es el punto medio de las diagonales AC y BD. Los triángulos ABD, ABC y ACD son

isósceles, por tanto, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales.

Así: ∡a = ∡b = ∡c = ∡d = ∡e = ∡f = ∡g = ∡h.

Los triángulos ABM, BCM, CDM y DAM son congruentes, por el criterio ALA. De esto se deduce que los lados correspondientes son iguales.

AM ≅ CM y BM ≅ DM, esto demuestra que M es el punto medio de AC y BD; las diagonales se cortan en su punto medio. Cualquier ángulo del cuadrado es igual a 90°.

A = 90°, también A = ∡a + ∡e y ∡a = ∡e, así A = 2∡a 90° = 2∡a, de donde ∡a = 45°.

En el triángulo ABM, ∡e + ∡f = 90°, de donde se infiere que el ángulo del vértice M = 90° lo que demuestra que AC ⊥ BD.

El punto M es punto medio de las diagonales AC y BD.


ii) En el rombo AC ⊥ BD, el punto M es el punto medio de las diagonales AC y BD Los lados AB = BC = CD = DA.

Los triángulos ABC, CDA, ABD, y CDB son isósceles, por lo tanto, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales.

Así: ∡1 = ∡2 = ∡3 = ∡4 = ∡5 = ∡6 = ∡7 = ∡8.

Los triángulos ABM, BCM, CDM y DAM son congruentes, por el criterio ALA. De esto se deduce que los lados correspondientes son iguales.

AM ≅ CM y BM ≅ DM, esto demuestra que M es el punto medio de AC y BD; las diagonales se cortan en su punto medio.

∡ + ∡b = 180° por formar un ángulo llano.

∡A = ∡b por ser ángulos correspondientes de triángulos congruentes.

2∡A = 180°

∡A = 90°, lo que demuestra que AC ⊥ BD.

En el rombo AC ⊥ BD.

El punto M es punto medio de las diagonales AC y BD.

Por ser un rombo, los lados AB = BC = CD = DA.

Los triángulos ABC, CDA, ABD y CDB son triángulos isóceles, ya que tienen dos lados iguales cada uno, por tanto, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. Así: < 1 = < 2 = < 3 = = < 4 y < 5 = < 6 = < 7 = < 8.

Los triángulos ABM, BCM, CDM y DAM son congruentes por el criterio ALA. De esto se deduce que los lados correspondientes son iguales:

AM ≅ CM y BM ≅ DM, esto demuestra que M es el punto medio de AC y BD; las diagonales se cortan en su punto medio.

< a + < b = 180º por formar un ángulo llano.

< a = < b por ser ángulos correspondientes de triángulos congruentes 2 < A = 180º

< A = 90º, lo que demuestra que AC ⊥ BD.


iii) En un paralelogramo o rectángulo.

AC = BD

El punto M es el punto medio de las diagonales AC y BD.

Por ser un rectángulo los lados AB = CD y CB = DA y sus ángulos A, B, C y son rectos.

En los triángulos ABC y CBD los lados AD y CB son correspondientes e iguales, lo mismo que los lados AB y CD y los ángulos

B y C, por el criterio LAL los triángulos son congruentes, por tanto, AC = BD, esto es, las diagonales, son de la misma longitud.

En los triángulos ABM y CDM, los lados AB y CD son correspondientes e iguales; los ángulos 1 y 2 son correspondientes, lo mismo que los ángulos 7 y 8 y además son iguales, así que, por el criterio ALA DABM DCDM, así AM = CM y BM = DM, lo que demuestra que las diagonales se cortan en el punto medio.

AC = BD

El punto M es punto medio de las diagonales AC y BD.

Por ser un rectángulo, los lados AB = CD y CB = DA y sus ángulos A, B, C y D son rectos.

En los triángulos ABC y CBD, los lados AD y CB son correspondientes e iguales, lo mismo sucede con los lados AB y CD, y los ángulos B y C que son iguales. Por criterio LAL, los triángulos son congruentes, por consiguiente, AC = BD, esto es, las diagonales son de la misma longitud.

En los triángulos ABM y CDM, los lados AB y CD son correspondientes y son iguales; los ángulos 1 y 2 son correspondientes, lo mismo que los ángulos 7 y 8, y además son iguales, por lo que por criterio ALA ΔABM ≅ ΔCMD, así AM = CM y BM = DM, lo que demuestra que las diagonales se cortan en el punto medio,


iv) En un paralelogramo.

Por ser paralelogramo AB || CD y AC secante que las corta, ∡a = ∡b por alternos internos.

Por ser paralelogramo AD || BC y AC secante ∡g = ∡s por ser alternos internos.

En los triángulos ABC y CDA el lado AC es común para dos triángulos, ∡a y ∡b son correspondientes y son iguales; lo mismo ocurre con ∡g y ∡s. Por el criterio ALA DABC ≅ DCDA, por tanto, AB = CD y AD = BC

v) Si dos triángulos isósceles tienen el ángulo desigual de 45°, los triángulos son semejantes.

En los triángulos ABC y DEF ∡C = ∡F = 45°, por ser triángulos isósceles:

∡A = ∡D = 67.5° y ∡B = ∡E = 67.5

sus tres ángulos correspondientes son iguales que son:

k = AC/DF = BC/EF

Por el criterio LAL, los triángulos ΔABC y ΔDEF son semejantes.

vi)

En DABC:

∡A + ∡B + ∡C = 180°

90° + 30° + ∡C = 180°

∡C = 180 – 120

C∡ = 60°

Como el ∡C es correspondiente con ∡F, ∡A con ∡D, ∡B con ∡E y ∡AB con ∡DE, por el criterio de semejanza ALA los triángulos son semejantes, así, en cualquier pareja de triángulos rectángulos con un ángulo de 30°, el tercer ángulo es de 60°.

vii)

A partir del ΔABO, por el criterio de congruencia ALA, trazamos el ΔBCO y, a partir de éste, con el mismo criterio, trazamos el triángulo congruente CDO, y así sucesivamente hasta llegar al triángulo FAO.

Todos los triángulos construidos tienen en común el vértice O y como todos sus ángulos miden 60° se forma una circunferencia (360°) con centro en O y radio igual a la medida de un lado.

De aquí se deduce que para trazar un hexágono regular, dada la medida de su lado, se traza una circunferencia de radio igual a la medida de su lado. Con un radio inicial se trazan seis ángulos de 60°, cada uno, y en las intersecciones de los lados de los ángulos con la circunferencia se determinan los vértices de los lados del hexágono.

A partir del ΔABO, por el criterio de congruencia ALA, trazamos el ΔBCO, a partir de éste, por el mismo criterio, trazamos el triángulo congruente CDO y así sucesivamente hasta llegar al triángulo FAO.

Todos los triángulos construidos tienen en común el vértice O y como todos sus ángulos miden 60º se forma una circunferencia (360º) con centro en O y radil igual a la medida de un lado. De aquí se deduce que para trazar un hexágono regular dada la medida de su lado, se traza una circunferencia de radio igual a la medida de su lado. Con un radio inicial se trazan 6 ángulos de 60º cada uno, y en las intersecciones de los lados de los ángulos con la circunferencia se determinan los vértices de los lados del hexágono.


Utilizo lo que aprendí

1. En equipos, resuelvan...

Respuesta:

b)

Las alturas de un triángulo son los segmentos perpendiculares que van desde cada vértice al lado opuesto.

En el triángulo ABC son AC = 4, BC = 3, CD = x. Para calcular CD consideramos que los triángulos ABC y ADC son semejantes, por tanto, son correspondientes AC con CD y AB con CB:

ACCD = ABCB, entonces 3CD = 54, por consiguiente, CD = 125 = 2.4.

La razón entre el triángulo de 3, 4 y 5 u y el triángulo de 9, 12 y 15 u es r = 3, y la altura del primero es 2.4, entonces las alturas del segundo triángulo son 9 u, 12 u y 7.2 u.


c) Triángulo equilátero con 2 u por lado. Aplicando el teorema de Pitágoras:

Triángulo con l = 1 y r = 0.5, ℎ = (1.7)(0.5) = 0.85 u.

Triángulo con l = 4 y r = 2, ℎ = 3.4 u.

Triángulo con l = 12 y r = 6, ℎ= 10.2 u.

Triángulo con l = 15 y r = 7.5, ℎ= (1.7)(0.5) = 12.75 u.


d)

El triángulo ABC es rectángulo, por tanto,

(AB)2 = (AC)2 + (BC)2 y AB2 = 2

12 = ℎ2 + (2/2)2; ℎ = 0.5 = 0.7 u

Triángulo con l = 2 y r =2, h = 1.4 u

Triángulo con l = 4 y r =4, h = 2.8 u

Triángulo con l = 7 y r =7, h = 4.9 u

Triángulo con l = 12 y r =12, h = 8.4 u


e)

Se deben cumplir las condiciones: AB = BC = CD = DA y que la diagonal BD tenga las misma longitud que sus lados. Así, por el criterio LLL: ∆ABD ≅ ∆BCD y son equiláteros.

2. Resuelve los siguientes...

Respuesta:

i) CDHI = GDCI; 1.62.5 = 1.74x, por lo tanto, x = 3.75 m.

GC2 = 1.742 + 1.162

GC = 3.03 + 1.34

GC = 2.1 m

GH = 2.1 + 45


CH2 = 3.752 + 2.52

CH = 14.06 + 6.25

CH = 4.5 m

GH = 6.6 m

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¿A dónde llegamos?

a) Explica....

Respuesta:

Sí, estableciendo la razón de proporcionalidad

c) ¿Para qué se trazaron....

Respuesta:

Para medir distancias iguales

d) ¿Qué relación hay entre la longitud......

Respuesta:

Hay una relación de proporcionalidad

Algo para aprender

1 Usa el teorema de Tales....

Respuesta:

a)

r= 2.78 cm

s= 14.5 cm

P= 2.3 cm

Q= 8.86 cm

Algo para aprender

1 Usa el teorema de Tales....

Respuesta:

b)

r= 8.7 cm

s= 8.5 cm

P= 3.77 cm

Q= 4.98 cm


c) Semejantes


d) Sí, porque los segmentos son proporcionales

Utilizo lo que aprendí

a) analiza el siguiente resultado...

Respuesta:

i. Para dividir el segmento AB en las medidas indicadas

Utilizo lo que aprendí

2 a) Utiliza el teorema de Tales.....

Respuesta:

i. 50, huella 20.4 cm

ii. 50, peralte 9.8 cm

Utilizo lo que aprendí

3 e) Tres primos de 10, 12 y 15 ....

Respuesta:

10 años, $94.50; 12 años, $ 113.50; y 15 años, 142.00

Comienza a pensar

a) Las tres figuras son .... por qué?

Respuesta:

Sí, porque son imágenes de una misma. El tamaño depende de la distancia a la que se encuentra la fuente de luz.

Analicemos juntos

a) En una cartulina .....

Respuesta:

i) Cambia de tamaño

ii) Sí, criterio LLL.

b) Haz otros orificios .....

Respuesta:

i) Cambia de tamaño.

ii Sí. criterio LLL.

¿Adónde llegamos?

b) Ahora coloquen otro cuadrado.....

Respuesta:

lado 1/2 de lado original


i) 1/3 de la medida original

ii) 2/3 de la medida original

Algo para aprender

En este caso....

Respuesta:

No existiría figura homotética o las dos figuras están en el mismo lugar. Todo número multiplicado por 0 es igual a cero

Algo para aprender

1 Discutan en grupo....

Respuesta:

a) k > 1

b) 0 < k > 1

c) k <0


i) k= 0, las figuras estarán en el centro de homotecia.

k= 1, las figuras estarán en la misma posición, pero a la derecha del centro homotecia.

k= 1, las figuras estarán en la misma posición, pero a la izquierda del centro de homotecia.

Utilizo lo que aprendí

b En la figura tienes un triángulo ....

Respuesta:

i= 3; CB= 4

Utilizo lo que aprendí

d) Si dos triángulos son homotéticos ....

Respuesta:

P´= kp y A´= 2kA


e) ¿La relación entre las áreas ...

Respuesta:

Sí, porque aumenta o disminuye de manera proporcional

f) En la figura tienes dos triángulos ....

Respuesta:

k= -2

g) Señala el centro y la razón ...

Respuesta:

ROJO

k= A´B´ / AB = 2.2/1.4 = 1.6


AZUL

k= - A´B´ / AB = - 1/2= - 0.5


AZUL Y VERDE

k= A´B´ / AB = 2 / 1.5 = 1.3


ROSA Y VERDE

K= A´B´ / AB = 0.5 / 2 = 0.25


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