3. Ahora es momento...
b)
i. A con B, B con L y C con C.
ii. Sí porque es una relación entre lados correspondientes de triángulos semejantes
iii. Sí, multiplicando por BC los dos miembros de la igualdad.
c)
i) Que en el triángulo ABC el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (teorema de Pitágoras).
1. En equipos, resuelvan...
a) Sí, su constante de proporcionalidad es 1.
b) i) En el cuadrado AC ⊥ BD, el punto M es el punto medio de las diagonales AC y BD. Los triángulos ABD, ABC y ACD son
isósceles, por tanto, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales.
Así: ∡a = ∡b = ∡c = ∡d = ∡e = ∡f = ∡g = ∡h.
Los triángulos ABM, BCM, CDM y DAM son congruentes, por el criterio ALA. De esto se deduce que los lados correspondientes son iguales.
AM ≅ CM y BM ≅ DM, esto demuestra que M es el punto medio de AC y BD; las diagonales se cortan en su punto medio. Cualquier ángulo del cuadrado es igual a 90°.
A = 90°, también A = ∡a + ∡e y ∡a = ∡e, así A = 2∡a 90° = 2∡a, de donde ∡a = 45°.
En el triángulo ABM, ∡e + ∡f = 90°, de donde se infiere que el ángulo del vértice M = 90° lo que demuestra que AC ⊥ BD.
El punto M es punto medio de las diagonales AC y BD.
ii) En el rombo AC ⊥ BD, el punto M es el punto medio de las diagonales AC y BD Los lados AB = BC = CD = DA.
Los triángulos ABC, CDA, ABD, y CDB son isósceles, por lo tanto, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales.
Así: ∡1 = ∡2 = ∡3 = ∡4 = ∡5 = ∡6 = ∡7 = ∡8.
Los triángulos ABM, BCM, CDM y DAM son congruentes, por el criterio ALA. De esto se deduce que los lados correspondientes son iguales.
AM ≅ CM y BM ≅ DM, esto demuestra que M es el punto medio de AC y BD; las diagonales se cortan en su punto medio.
∡ + ∡b = 180° por formar un ángulo llano.
∡A = ∡b por ser ángulos correspondientes de triángulos congruentes.
2∡A = 180°
∡A = 90°, lo que demuestra que AC ⊥ BD.
En el rombo AC ⊥ BD.
El punto M es punto medio de las diagonales AC y BD.
Por ser un rombo, los lados AB = BC = CD = DA.
Los triángulos ABC, CDA, ABD y CDB son triángulos isóceles, ya que tienen dos lados iguales cada uno, por tanto, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. Así: < 1 = < 2 = < 3 = = < 4 y < 5 = < 6 = < 7 = < 8.
Los triángulos ABM, BCM, CDM y DAM son congruentes por el criterio ALA. De esto se deduce que los lados correspondientes son iguales:
AM ≅ CM y BM ≅ DM, esto demuestra que M es el punto medio de AC y BD; las diagonales se cortan en su punto medio.
< a + < b = 180º por formar un ángulo llano.
< a = < b por ser ángulos correspondientes de triángulos congruentes 2 < A = 180º
< A = 90º, lo que demuestra que AC ⊥ BD.
iii) En un paralelogramo o rectángulo.
AC = BD
El punto M es el punto medio de las diagonales AC y BD.
Por ser un rectángulo los lados AB = CD y CB = DA y sus ángulos A, B, C y son rectos.
En los triángulos ABC y CBD los lados AD y CB son correspondientes e iguales, lo mismo que los lados AB y CD y los ángulos
B y C, por el criterio LAL los triángulos son congruentes, por tanto, AC = BD, esto es, las diagonales, son de la misma longitud.
En los triángulos ABM y CDM, los lados AB y CD son correspondientes e iguales; los ángulos 1 y 2 son correspondientes, lo mismo que los ángulos 7 y 8 y además son iguales, así que, por el criterio ALA DABM DCDM, así AM = CM y BM = DM, lo que demuestra que las diagonales se cortan en el punto medio.
AC = BD
El punto M es punto medio de las diagonales AC y BD.
Por ser un rectángulo, los lados AB = CD y CB = DA y sus ángulos A, B, C y D son rectos.
En los triángulos ABC y CBD, los lados AD y CB son correspondientes e iguales, lo mismo sucede con los lados AB y CD, y los ángulos B y C que son iguales. Por criterio LAL, los triángulos son congruentes, por consiguiente, AC = BD, esto es, las diagonales son de la misma longitud.
En los triángulos ABM y CDM, los lados AB y CD son correspondientes y son iguales; los ángulos 1 y 2 son correspondientes, lo mismo que los ángulos 7 y 8, y además son iguales, por lo que por criterio ALA ΔABM ≅ ΔCMD, así AM = CM y BM = DM, lo que demuestra que las diagonales se cortan en el punto medio,
iv) En un paralelogramo.
Por ser paralelogramo AB || CD y AC secante que las corta, ∡a = ∡b por alternos internos.
Por ser paralelogramo AD || BC y AC secante ∡g = ∡s por ser alternos internos.
En los triángulos ABC y CDA el lado AC es común para dos triángulos, ∡a y ∡b son correspondientes y son iguales; lo mismo ocurre con ∡g y ∡s. Por el criterio ALA DABC ≅ DCDA, por tanto, AB = CD y AD = BC
v) Si dos triángulos isósceles tienen el ángulo desigual de 45°, los triángulos son semejantes.
En los triángulos ABC y DEF ∡C = ∡F = 45°, por ser triángulos isósceles:
∡A = ∡D = 67.5° y ∡B = ∡E = 67.5
sus tres ángulos correspondientes son iguales que son:
k = AC/DF = BC/EF
Por el criterio LAL, los triángulos ΔABC y ΔDEF son semejantes.
vi)
En DABC:
∡A + ∡B + ∡C = 180°
90° + 30° + ∡C = 180°
∡C = 180 – 120
C∡ = 60°
Como el ∡C es correspondiente con ∡F, ∡A con ∡D, ∡B con ∡E y ∡AB con ∡DE, por el criterio de semejanza ALA los triángulos son semejantes, así, en cualquier pareja de triángulos rectángulos con un ángulo de 30°, el tercer ángulo es de 60°.
vii)
A partir del ΔABO, por el criterio de congruencia ALA, trazamos el ΔBCO y, a partir de éste, con el mismo criterio, trazamos el triángulo congruente CDO, y así sucesivamente hasta llegar al triángulo FAO.
Todos los triángulos construidos tienen en común el vértice O y como todos sus ángulos miden 60° se forma una circunferencia (360°) con centro en O y radio igual a la medida de un lado.
De aquí se deduce que para trazar un hexágono regular, dada la medida de su lado, se traza una circunferencia de radio igual a la medida de su lado. Con un radio inicial se trazan seis ángulos de 60°, cada uno, y en las intersecciones de los lados de los ángulos con la circunferencia se determinan los vértices de los lados del hexágono.
A partir del ΔABO, por el criterio de congruencia ALA, trazamos el ΔBCO, a partir de éste, por el mismo criterio, trazamos el triángulo congruente CDO y así sucesivamente hasta llegar al triángulo FAO.
Todos los triángulos construidos tienen en común el vértice O y como todos sus ángulos miden 60º se forma una circunferencia (360º) con centro en O y radil igual a la medida de un lado. De aquí se deduce que para trazar un hexágono regular dada la medida de su lado, se traza una circunferencia de radio igual a la medida de su lado. Con un radio inicial se trazan 6 ángulos de 60º cada uno, y en las intersecciones de los lados de los ángulos con la circunferencia se determinan los vértices de los lados del hexágono.
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