pacoelchato.com

Tarea

Ayuda para tu tarea de Secundaria Primer grado Matematicas Bloque I Problemas de Conteo

SECUENCIA 8

Titulo Secuencia 7

Sesión 1   ¿CUÁNTOS CAMINOS HAY?

Para empezar

Ana vive en el centro de la ciudad de Puebla, en la esquina que forman las calles 2 Norte y 6 Oriente. Ella va a la escuela que está ubicada en 4 Norte y 12 Oriente. El mapa muestra el recorrido que ayer hizo Ana para ir de su casa a la escuela.

Pag90Act1

Realicen las siguientes actividades

a) En el mapa de su libro, cada quién marque con color verde otro recorrido que podría hacer Ana para ir de su casa a la escuela.

b) En este recorrido, ¿cuáles son las calles por las que pasa Ana para llegar a la

escuela? toma la 6 oriente y luego la 4 norte

c) Marca en tu mapa con color azul el recorrido que trazó tu compañero. ¿Por cuáles calles pasa este nuevo recorrido? por la 2 norte y cambia a la 12 oriente

Consideremos lo siguiente

Como ven, casi todas las calles del centro de la ciudad de Puebla son rectas, por lo que es posible representar el recorrido que hizo Ana de su casa (A) a la Escuela (E), como muestra el mapa 1.

a) Encuentren en el mapa 2 un recorrido en el que Ana camine el menor número de cuadras para llegar a la escuela (E) y represéntenlo aquí.

b) ¿Cuántas cuadras tiene ese recorrido? 4 cuadras

c) ¿Cuántas formas diferentes hay de caminar ese recorrido? 4 formas

Pag91Act1

Comparen su solución con las de los otros equipos.

a) ¿Cuántas formas diferentes tiene Ana de caminar el menor número de cuadras? 4 formas

Pag91Act2

Manos a la obra

I. Una pareja de alumnos representó el recorrido que siguió Ana mediante ?echas: Pag91Act3

Otra pareja lo representó así: N, O, N, N utilizando las letras O de calle Oriente y N de calle Norte.

a) ¿Puede llegar Ana a la escuela siguiendo el camino O,O,N,N? no

b)¿Y siguiendo el camino Pag91Act3? si

d) Utilizando las letras N y O, representen en su cuaderno los recorridos que puede hacer Ana para ir de su casa a la escuela caminando el menor número de cuadras.

0, N, N, N; N, O, N, N; N, N, O, N y N, N, N, O.

Los recorridos que constan del menor número de cuadras que se puede caminar son aquellos en los que no hay regresos. A estos recorridos se les llamará recorridos más cortos.

II. Consideren el mapa 3; María (M) es compañera de Ana y vive en la esquina de 4 Oriente y 2 Norte.

a) ¿Cuál es el menor número de cuadras que debe caminar María para ir de su casa a la escuela? 5 cuadras

b) ¿De cuántas formas diferentes puede ir de su casa a la escuela caminando el menor número de cuadras? Utiliza el código de las letras N y O para representar, en tu cuaderno, los recorridos más cortos que puede hacer María.

de 5 formas; O, N, N, N, N; N, O, N, N, N; N, N, O, N, N;  N, N, N, O, N y N, N, N, N, O.

III. Consideren el mapa 4, ¿de cuántas formas diferentes puede llegar alguien a la escuela si vive en la esquina de 2 Oriente y 2 Norte, caminando el menor número de cuadras? 6 formas

Pag92Act1

Lo que aprendimos

Encuentra en el mapa 5 los diferentes recorridos que puede seguir alguien para ir del punto M a la escuela (E), caminando el menor número de cuadras. Represéntalos en tu cuaderno utilizando las letras N y O.

Pag92Act2

a) ¿Cuántas cuadras tiene el recorrido más corto? 4

b) ¿De cuántas formas diferentes puedes caminarlo para llegar a la escuela? 5

c) En el mapa 6, ¿cuántas cuadras forman al recorrido más corto que se puede seguir para ir de M a E? 5

d) ¿De cuántas formas diferentes lo puedes realizar? 7 formas

¿Se puede realizar el siguiente recorrido N, N, O, O, N, N? no, por que solo son 5 cuadras por avanzar

A lo que llegamos

Al encontrar cuántas formas diferentes hay de realizar un recorrido, se está resolviendo un problema de conteo. En los problemas de conteo es conveniente utilizar una manera de distinguir un resultado de otro.

Por ejemplo, en el caso de Ana se puede diferenciar un camino de otro si cada uno de ellos se distingue con un símbolo, una letra o un nombre. Dos maneras de representar uno de los cuatro recorridos que Ana puede hacer son: N,N,O,N y Pag91Act3.

Estas maneras de resolver problemas de conteo se llaman procedimiento de enumeración.

Sesión 2   ¿DE CUÁNTAS FORMAS?

Consideremos lo siguiente

En la pastelería “La gran rebanada” elaboran pasteles de diferentes sabores, formas y decorados. Cuando alguien hace un pedido, el vendedor debe llenar un formato como el siguiente:

Pag93Act1

a) ¿Cuántos pasteles diferentes pueden elaborar en esa pastelería?

b) ¿Habrá más de 10 pasteles diferentes? si ¿Más de 20? no ¿Más de 40? no

Manos a la obra

I. Completen las siguientes tablas.

Pag94Act1

a) ¿Cuántos tipos diferentes de pastel de forma circular hay con sabor chocolate? 3

b) ¿Cuántos tipos diferentes de pastel con decorado de nuez y sabor vainilla hay? 2

c) ¿Cuántos tipos diferentes de pastel con decorado de fresa hay? 6

d) Observen las tablas. En la primera casilla de cada tabla está identi?cada la forma del pastel, de la segunda columna en adelante están los decorados y del segundo renglón hacia abajo, los sabores. Si en vez de construir las tablas a partir de la forma del pastel se construyen a partir de los diferentes sabores, ¿cuántas tablas tendrían que hacerse? 3 tablas Elabórenlas en su cuaderno.

Pag94Act2

e) ¿Cambia el número total de variedades de pastel? no  ¿Por qué? porque son el mismo número de opciones de combinación.

II. Completen el siguiente diagrama de árbol:

Pag95Act1

a) ¿Cuántos pasteles diferentes se pueden elaborar con sabor de tres leches? 6

b) ¿Cuántos pasteles diferentes se pueden elaborar con decorado de cereza? 6

c) ¿Cuántos pasteles diferentes se pueden elaborar con forma cuadrada? 9

d) ¿Cuántos pasteles diferentes se pueden elaborar? 18

e) ¿Obtuvieron el mismo número de pasteles diferentes con las tablas y con el diagrama de árbol? si

f) El diagrama de árbol anterior tiene tres niveles, uno por cada uno de los conjuntos que de?nen las características del pastel. ¿Cuál de las tres características del pastel se utiliza en el primer nivel del árbol? el decorado

A lo que llegamos

Un diagrama de árbol es un recurso que permite visualizar y enumerar todos los resultados de un problema de conteo. Los diagramas de árbol están compuestos por niveles y ramas. En el ejemplo de la pastelería hay tres características: el decorado, la forma y el sabor, por lo tanto, el diagrama de árbol tiene tres niveles. El número de ramas de cada nivel se determina por la cantidad de elementos de cada característica. Por ejemplo, en el nivel de “forma” hay dos ramas, una para el pastel cuadrado y otra para el pastel

circular.

g) Supongan que en esa pastelería tienen un nuevo decorado: el de frutas.

¿Cuántos pasteles distintos podrían elaborarse ahora? 24 tipos. En su cuaderno, elaboren el diagrama de árbol que representa esta situación.

Pag96Act1

 

III. La pastelería puede rellenar los pasteles con dos ingredientes: durazno o almendras. Ahora los ha incluido en el formato de pedidos.

Pag96Act2

a) ¿Cuántos pasteles distintos pueden elaborarse ahora en la pastelería? 36 tipos

A lo que llegamos

Las tablas y los diagramas de árbol son dos recursos para encontrar de manera sistemática todos los resultados posibles en un problema de conteo. En ambos casos se ha hecho uso de códigos para enumerar los diferentes resultados.

Cuando se realiza un conteo de modo sistemático, el resultado será siempre el mismo, no importa el recurso que se utilice. 

Lo que aprendimos

Supon que en cierta planta las ?ores de color rojo es un carácter dominante y las de color azul es recesivo. Identi?ca el color rojo con RR (dos letras porque la información de la herencia biológica se transmite en pares) y el azul con aa.

 Pag97Act1

Si en la primera generación se cruzan una con ?ores rojas y otra con ?ores azules, tendrás la siguiente tabla:

Las ?ores que nacen, todas son rojas porque Ra signi?ca que la ?or es roja, pero lleva información de la ?or azul (aunque no se mani?este). La única manera de que la ?or sea azul, por ser recesiva, es cuando ambas letras sean aa.

Si se toman dos de los cuatro descendientes y se cruzan, ¿de qué color serán las ?ores? Averígualo completando la siguiente tabla:

a) ¿Cuántas ?ores son rojas? (recuerda que son las que por lo menos tienen una letra R) 3 rojas

b) ¿Cuántas ?ores son azules (aa)? 1 azul

Sesión 3   ¿CUÁNTOS VIAJES HAY…?

Pag97Act2

Consideremos lo siguiente

Una línea de autobuses cubre las principales ciudades del estado de Sinaloa: Los Mochis, Escuinapa, Culiacán y Mazatlán. La línea de autobuses sólo ofrece viajes directos, es decir, no hace paradas intermedias (si va de Los Mochis a

Mazatlán, no hace parada en Culiacán). ¿Cuántos viajes diferentes ofrece la línea de autobuses? 12 tipos de viajes

Manos a la obra

Pag98Act1

I. Realicen lo que se les pide.

a) Completen la tabla de la izquierda.

b) Si una persona sale de Culiacán viajando en esta línea de autobuses, ¿a cuántos destinos diferentes puede llegar? a 3

c) Si una persona llega a Mazatlán, ¿de cuántas ciudades diferentes pudo haber salido? de 3

d) En total, ¿cuántos viajes diferentes hay? 12 tipos de viajes

II. La línea de autobuses ha decidido dar servicio a la ciudad de Rosario.

a) ¿Cuántos viajes diferentes ofrece ahora la línea de autobuses? 20 tipos de viajes

Un equipo empezó a resolver el problema mediante el siguiente diagrama de árbol.

b) Complétenlo en su cuaderno.

Pag99Act1

a) ¿Cuántos niveles tiene el diagrama de árbol? 2 niveles

b) ¿A qué corresponde cada nivel? a la ciudad de salida y a la ciudad de llegada

c) ¿Cuántas ramas tiene el primer nivel? 5

d) ¿A qué corresponde cada rama? a una ciudad de partida

e) ¿Cuántas ramas tiene el segundo nivel? 20

f) ¿A qué corresponde cada rama? a las mismas 5 ciudades como pero punto de llegada

g) Consideren una ciudad como punto de salida, ¿cuántas opciones diferentes de viaje hay? 4 opciones

h) Si hay 5 ciudades como punto de salida, ¿cuántas opciones diferentes de viaje hay? 20 diferentes tipos de viaje

i) ¿Qué relación encuentran entre el número de ciudades de salida, el número de ciudades de llegada y el total de viajes que se pueden realizar? existen 5 ciudades de salida con 4 opciones de viaje a otra ciudad, si multiplicas las 5 por 4 resulta en las 20 diferentes opciones de viaje

A lo que llegamos

Para determinar el número total de viajes que la línea ofrece se puede multiplicar el número de ciudades de salida por el número de ciudades de llegada. Por ejemplo, si hay cuatro ciudades de salida y tres ciudades de llegada el número total de viajes es 4 × 3 = 12.

III. Contesten las siguientes preguntas.

a) Ahora la línea da servicio a las seis principales ciudades de Sinaloa. ¿Cuántos viajes diferentes ofrece la línea de autobuses? 6 x 5 = 30 diferentes viajes

b) La línea de autobuses ahora da servicio a diez ciudades. ¿Cuántos viajes diferentes ofrece? 10 x 9 = 90 diferentes viajes

c) Otra línea de autobuses ofrece como destinos las capitales de las

32 entidades federativas del país. ¿Cuántos viajes diferentes ofrece esta línea? 32 x 31 =  992 diferentes viajes

A lo que llegamos

Los diagramas de árbol y las tablas son recursos que ayudan a encontrar todas  cada una de las opciones existentes en un problema de conteo.

En ocasiones, la multiplicación es la operación que permite encontrar el número total de opciones existentes.

Lo que aprendimos

Mi amigo Juan me planteó un acertijo. Me dijo que el número de su casa tiene dos cifras, que ninguna de las dos es 0 y que son diferentes entre sí.

a) ¿Qué números puedo utilizar como primera cifra? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

¿Cuántos son en total? 9 números

b) Si la primera cifra fuera 2, ¿qué números podría utilizar como segunda cifra? 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

¿Cuántos son en total? 8 números

c) Entonces, ¿cuántos números de dos cifras pueden ser el número de la casa de Juan? 8 tipos de números, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28 y 29

¿Cuántos pares de números existen en total que cumplen con las condiciones del problema? 72 tipos de números

Sesión 4   OTROS CONTEXTOS

Lo que aprendimos

1. El siguiente diagrama de árbol muestra algunos de los resultados posibles que pueden obtenerse al lanzar dos dados una vez. Complétalo.

Pag101Act1

Contesta las siguientes preguntas:

a) El resultado (2, 1) signi?ca que en el lanzamiento cayó 2 en el dado A, ¿qué cayó en el dado B? 1

b) ¿Qué signi?ca el resultado (1, 2)? que cayo 1 en el dado A y 2 en el dado B

c) ¿Y el resultado (6, 6)? que cayo 6 en el dado A y 6 en el dado B

d) ¿Cuántos resultados diferentes en total puede haber al lanzar dos dados? 36 resultados distintos

De esos resultados, ¿en cuántos se cumplen las siguientes condiciones?:

a) “En los dos dados cae el mismo número” 6 resultados

b) “En el dado A cae un número mayor que en el dado B” 15 resultados

c) “En el dado A cae un número par” 18 resultados

Comparen sus respuestas y contesten lo que se les pide:

a) ¿Cuántos resultados hay en los que en ambos dados caen números impares? 9 resultados

b) ¿Y cuántos resultados hay en los que ambos dados caen números pares? 9 resultados

2. Ahora van a sumar los números que pueden caer en ambos dados, por ejemplo:

Dado A: 4 y dado B: 5

La suma es 4 + 5 = 9

Utilicen el diagrama de árbol para contestar las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es la menor suma que puede obtenerse? 2

b) ¿Cuántas formas hay de obtenerla? solo 1 forma

c) ¿Cuál es la mayor suma que puede obtenerse? 12

d) ¿Cuántas formas hay de obtenerla? solo 1

e) ¿Cuál es la suma que más veces aparece? 7

f) ¿Cuántos resultados hay en que la suma es menor de 7? 15 resultados

g) ¿Cuántos resultados hay en que la suma es mayor de 7? 15 resultados

3. Del diagrama de árbol se ha tomado el siguiente conjunto de resultados.

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6).

¿Qué característica tienen en común estos resultados? el resultado "4" del dado A

¿Qué característica tienen los siguientes conjuntos de resultados?

a) (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3) el resultado "3" del dado B

b) (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)  en ambos dados cae el mismo número

c) (1, 3), (2, 2), (3, 1)  el resultado del dado A va de menor a mayor y el dado B inversamente

d) (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)  el resultado del dado A va de menor a mayor y el dado B de mayor a menor

4. Las claves de larga distancia constan de tres dígitos. Supongan que el primero debe elegirse de los números del 2 al 5. El segundo tiene que ser

0 o 1. El tercero tiene que ser mayor que 5.

Pag103Act1

a) ¿Cuántas claves distintas se pueden formar? 32 claves

b) Elaboren tablas de doble entrada para representar los resultados. ¿Cuántas claves de larga distancia inician con 20? solo 4

c) ¿Cuántas claves de larga distancia terminan con 9? 8 claves

d) ¿Cuántas claves de larga distancia tienen el mismo número en los 3 dígitos? ninguna