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Ecuaciones de Primer Grado - Ecuaciones Lineales - Clasificación - Problemas - Planteamiento y Validación o Solución

La palabra "ecuacion" proviene del latín “aequatio” y “aequationis” que significa igualar, hacer igual, nivelación o repartición igual de algo. Esto es la principal idea que nunca debemos olvidar cuando trabajemos con ecuaciones, pues de este principio parte el Axioma Fundamental de las Ecuaciones.

Pero, ¿en algebra cuál seria la igualdad?, pues evidentemente es una expresion que contiene el signo "="  y esta conformada por dos partes que también son expresiones algebraicas  y que tienen el mismo valor.

Para el primer caso, si a es igual a 6, b + c debe tambien valer 6; ya sea que b sea igual a 3 y c también, o b igual a 2 y c igual a 4, o b igual a 1 y c igual a 5, o alguna de las dos literales b o c sea igual a 0 y por ello la contraria valga 6.

 

DEFINICIÓN

Bueno, estas tres igualdades son ejemplos de ecuaciones. En otras palabras, una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o se dice que es verdadera para determinados valores de las incógnitas.

 

Primeramente existen tres conceptos qué debemos manejar  muy bien.

Miembros: se refiere a las partes izquierda y derecha de una ecuación o identidad; por ejemplo, el primer miembro se encuentra a la izquierda del signo igual mientras que el segundo miembro se encuentra a la derecha del signo igual o identidad.

Terminos: son las cantidades que estan presentes en los miembros, cuando existen más de un termino por miembro estos se conectan por medio de los signos "+" o "-"

Los conceptos miembro y término no son lo mismo, sin embargo hay ocasiones dónde existe un sólo terminó en un miembro y sólo en esos casos si son equivalentes.

También recordemos que cada terminó se conforma de de 4 elementos, signo, coeficiente, literal o variable y, exponente.

El grado de una ecuación es determinado por el mayor exponente de alguna de las incógnitas presentes en la expresión. 

Esto permite clasificarlas principalmente en ecuaciones de primer grado o lineales, ecuaciones de segundo grado o cuadráticas, ecuaciones de tercer grado o cúbicas. Ademas, las ecuaciones lineales pueden ser clasificadas de manera sencilla en enteras, fraccionarias, con signos de agrupación y, con literales.

 

RESOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Resolver una ecuación consiste encontrar el valor o los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación, osea que vuelven verdadera la igualdad. Para lo cuál contamos con el axioma fundamental de las ecuaciones que nos dice:

"Sí con cantidades iguales se verifican operaciones iguales, los resultados seran iguales".

Del cual se desprenden las siguientes reglas:

  1. Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad positiva o negativa la igualdad subsiste.
  2. Si a los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad positiva o negativa la igualdad subsiste.
  3. Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad positiva o negativa la igualdad subsiste.
  4. Si a los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad positiva o negativa la igualdad subsiste.
  5. Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se extrae una misma raíz la igualdad subsiste.

El uso de las reglas anteriores son el verdadero procedimiento para encontrar el valor de las incógnitas, sin embargo, existe un procedimiento qué nos permite reducir los pasos llamado, transposición de términos, el cuál consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro al otro simplemente invirtiendo el signo o mejor dicho, la operación matemática del término.

 

 

  • Si el término se encuentra sumando en el primer miembro lo pasarás al segundo miembro restando. 
  • Si el término se encuentra restando en el primer miembro lo pasarás al segundo miembro sumando.
  • Si el término se encuentra multiplicando en el primer miembro lo pasarás al segundo miembro dividiendo. 
  • Si el término se encuentra dividiendo en el primer miembro lo pasarás al segundo miembro multiplicando.

Lo mismo ocurrirá cuando la transposición del término sea desde el segundo miembro al primero.

El uso de las reglas anteriores se puede resumir en un procedimiento específico para ecuaciones de primer grado

Resolución de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita 

1) Se efectúan las operaciones indicadas, si las hay. 
2) Se hace la transposición de términos reuniendo en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.
3) Se reducen términos semejantes en cada miembro.
4) Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita.

Ejemplo: