Secundaria. Segundo grado.

Matemáticas 2 A través de las matemáticas

Fernández Editores

Secuencia didáctica 3. Empieza

Respuestas del libro

Empieza Recuerda conocimientos anteriores, relacionados…

a) Escribe tres multiplicaciones,

Respuesta:

(1)(9)=9,

(3)(3)=9,

(9)(1)=9,


b) Completa la siguiente tabla

Respuesta:

Completar Tabla 



c) ¿Cuál es el carácter?

Respuesta:

Positivo



d) ¿Cuál es el carácter?

Respuesta:

Negativo


Avanza Lee con atención cada uno de las siguientes..

a) ¿Cuál es la situación?

Respuesta:

La de los pajarillos, solamente tengo que multiplicar 4x4 

b) ¿Puedes usar un diagrama?

Respuesta:

Una tabla, para organizar la información



c) Sin utilizar diagramas

Respuesta:

Multiplicaciones, para poder obtener la información de manera más rápida, se podría utilizar una suma pero sería más lento 


d) ¿Qué tienen en común?

Respuesta:

En todos me necesito apoyar en multiplicaciones para poder resolverlos 


Ahora consideren los siguientes enunciados.

a) ¿Cuál es la situación más sencilla?

Respuesta:

La de los pajarillos, solamente tengo que multiplicar 4x4 



Ahora consideren los siguientes enunciados.

b) ¿Cuál es el parecido de estos enunciados?

Respuesta:

En todos me necesito apoyar en multiplicaciones para poder resolverlos 



d) Determinen y anoten las operaciones

Respuesta:

4 x 4 = 16

3 x 3 = 9

5 x 5 x 5 = 125

9 x 9 = 49


Consideren el enunciado

a) ¿Cuál es la operación?

Respuesta:

9 ^ 4


b) ¿Por qué se puede afirmar que la operación?

Respuesta:

Porque son 9 empresas, que construirán 9 edificios con nueve pisos y con 9 departamentos cada uno


c) ¿A qué parte del enunciado?

Respuesta:

El primer 9 a las empresas, el segundo a los edificios, el tercero a los pisos y el cuarto a los 9 departamentos de cada piso


d) ¿Cuál es el resultado de la operación?

Respuesta:

729


e) ¿Qué problema pueden plantear?

Respuesta:

Perla tiene en su closet 9 blusas distintas, 9 zapatos distintos, 9 bolsas distintas y 9 pantalones distintos, ¿Cuántos cambios diferentes puede crear perla?



f) Escriban un procedimiento

Respuesta:

9 ^ 4 ( Las potencias)


Duplicación Lee con atención cada uno de las siguientes..

a) Copia y completa en tu cuaderno

Respuesta:

Dibujar en el cuaderno las bacterias que faltan en cada línea roja


b) ¿Cuántas bacterias conforman la población?

Respuesta:

3, 7 y 15



c) ¿Cuántas horas debe pasar para que la población?

Respuesta:

6 horas

Número, álgebra y variación

d) Completa la siguiente tabla que sirve para contar

Respuesta:

0, 2, 6, 14, 46, 110, 238, 494, 1006, 2030



e) ¿Observas alguna regularidad en la tabla anterior?

Respuesta:

Los números van aumentando utilizando la hora como potencia y sumando las anteriores


f) Si se hubiera iniciado con una población de dos bacterias

Respuesta:

5 horas



g) ¿A qué número de horas corresponde?

Respuesta:

8 horas


h) ¿Qué operación o expresión ?

Respuesta:

2^15



I) ¿Te imaginas cuánto tiempo?

Respuesta:

20 horas 


Cubos Observen la siguiente sucesión de cuerpos geométricos

a) Dibujen en su cuaderno el quinto

Respuesta:

La base la forman 25 y en total son 125 cubitos 


b) Completen la siguiente tabla

Respuesta:

125

125

64

64

27

27

8

8

25

25

12

12

9

9

4

4

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

1

1


c) ¿Qué pueden calcular con la?

Respuesta:

La base, y el área del cubo

d) ¿Hay algún cubo cuya?

Respuesta:

Si, un cubo de 7 cubos en cada arista 

e) ¿Hay algún cubo en la sucesión?

Respuesta:

No, porque ese número 264 no tiene raíz cúbica 


f) ¿Cómo calcularían el número?

Respuesta:

11^3


Eje Número, álgebra y variación

Cada integrante del equipo completará uno o dos…

Respuesta:

Considera las siguientes potencias…

a) Explica las semejanzas y las diferencias entre ambas potencias.

Respuesta:

A pesar de que se utilizan los mismos números, no da un resultado similar ya que una indica que el dos será multiplicado por sí mismo 5 veces dando un total de 32 mientras que el otro ejemplo indica que el cinco será multiplicado por sí mismo 2 veces dando como resultado 25.



b) ¿Cuál es el valor de la potencia?

Respuesta:

32 y 25, el primero es mayor 



c) Explica porque ninguna

Respuesta:

Como ya se indicó los resultados son 32 y 25, esto debido a que no es una multiplicación como tal, sino que se multiplica el mismo número por las veces que indica la potencia 



d) ¿Qué valor será mayor?

Respuesta:

2^10 porque se multiplica más veces el mismo número generando un resultado mayor 



e) ¿Qué valor será mayor?

Respuesta:

2^10 por que se multiplica por sí mismo más veces generando un mayor valor 



f) ¿Para comparar potencias?

Respuesta:

No, es necesario tener ambos datos, para de esta forma poder considerar los valores 

Ver explicación
De ser posible, calculen las potencias anteriores

a) ¿Cuál es el resultado de una potencia?

Respuesta:

El valor queda igual, debido a que es como si multiplicara ese valor por uno generando siempre u resultado de 1.



b) ¿Cuál es el resultado de una potencia en la?

Respuesta:

El valor queda igual debido a que es como si multiplicara el velos por uno, ejemplo 5^1= 5 no hay modificación



c) ¿Qué resulta al calcular una potencia?

Respuesta:

Siempre será 0

d) ¿Qué valor tiene una potencia?

Respuesta:

El resultado siempre será 1


Las siguientes tablas presentan las primeras potencias..
Las siguientes tablas presentan las primeras potencias..

a) Completa las tablas

Respuesta:



b) Calcula el resultado

Respuesta:

  • 6561

6561

6561

6561

3^7

3^7

3

3

19683

19683

19683

19683

3^5

3^5

1024

1024

1024

1024

3^4

3^4

3^5

3^5

3^5

3^5

2187

2187

2187

2187

3^4

3^4

3^3

3^3

2187

2187

2187

2187

3^5

3^5

3^2

3^2

128

128

2^5

2^5

2^2

2^2

128

128


c) ¿Notas alguna relación?

Respuesta:

Si, las potencias cuando se multiplican únicamente se suman y así brindan el resultado 



d) ¿Cuál sería el resultado?

Respuesta:

2^25=33554432



e) ¿Qué conviene más?

Respuesta:

3^9 y 3^10, es más fácil de utilizar, sin embargo el resultado es el mismo 



f) ¿Se cumple que?

Respuesta:

El resultado es el mismo, no importa el orden de los factores 

Consideren los siguientes cálculos...

a) ¿Para qué se utilizan los?

Respuesta:

Se utilizan para separar las operaciones, sin ellos sería una misma potencia.



b) ¿Qué se pudo haber hecho para evitar?

Respuesta:

Afuera del paréntesis se pudo poner la potencia o bien únicamente unificarlas


c) Sin desarrollar las potencias

Respuesta:

6^13

Potencias de números enteros, fraccionarios y decimales
Lee con atención

a) ¿Cuántas opciones son posibles?

Respuesta:

40

b) Si Beatriz

Respuesta:

30 segundos

c) Pensando que necesita sus pertenencias

Respuesta:

45



d) Con la respuesta

Respuesta:

45 segundos

Analicen a detalle la siguiente situación

a) Rosario decidió depositar

Respuesta:

150150 al primer mes, 150300.15 el segundo mes y 150450.45 el tercer mes


b) ¿Cuánto habrá generado?

Respuesta:

151506.76


c) ¿Es posible calcular?

Respuesta:

Si con una fórmula bien estructurada


d) ¿Cuánto tiempo tendrá?

Respuesta:

38 meses


Potencias cuya base es un número negativo

a) Usando la definición

Respuesta:

-2, 4, -8, 16, -32

b) Compara los resultados del

Respuesta:

Que los signos impares en la potencia mantienen el estado de negativo mientras que los pares cambian el resultado a positivo

c) ¿Explica por qué no ocurre que?

Respuesta:

Porque (-2)(-2) es negativo por negativo significa que el resultado será positivo


d) ¿Cuál es el signo de la potencia?

Respuesta:

Será negativo por la regla de los signos 



e) ¿Cuál es el signo de la potencia?

Respuesta:

Será positivo por la regla de los signos así como se vio en los ejercicios anteriores.



f) ¿Cómo calcularían?

Respuesta:

9/16, -27/64, 81/256, 6.25,15.625


Potencias de potencias

a) Las expresiones anteriores

Respuesta:

Si lo son en el primer ejemplo la base es 8 y la potencia 4 y en el segundo la base es 9 y la potencia es 6



b) ¿Es necesario el uso de paréntesis?

Respuesta:

Si, ya que según la jerarquía de operaciones se resuelve primero lo de adentro para poder aplicar la potencia


c) En el primer caso

Respuesta:

Primero se eleva al cubo y después el resultado se eleva a 4 debido a la jerarquía de operaciones, la cual indica la resolución dentro del paréntesis primero



d) ¿Cómo se procede con el cálculo?

Respuesta:

El tres de eleva al cuadrado lo que es igual a 9 para posteriormente al 9 aplicarle la potencia de 6



e) ¿Cuál es el resultado en cada caso?

Respuesta:

4096 y 531441

f) ¿Qué regla o procedimiento?

Respuesta:

La jerarquía de operaciones

Considera las siguientes igualdades

a) Comprueba cada una de las igualdades

Respuesta:

64=64, 1024=1024, 6561=6561

b) ¿Qué de peculiar notas?

Respuesta:

  • No importa el orden de las potencias, es decir si están dentro o fuera acompañando al número

c) De acuerdo con lo observado en el inciso

Respuesta:

(6^2) ^4= (6^4) ^2=1679616

d) Escribe en el recuadro

Respuesta:

La jerarquía de las operaciones respetarla

Cocientes de potencias

c) Para dividir

Respuesta:

8x10-03 debido a que 125/15625 eso da

a) Para dividir

Respuesta:

En uno se simplifica a 1 y se multiplican en el otro solo se eliminan los 7 de arriba y abajo equivalentemente y se multiplican los restantes, porque es la misma al simplificar, el de eliminar equivalentemente, si, la misma cantidad de 7 que se encuentran arriba o abajo en la fracción se ven representadas en el potencia


b) Para dividir

Respuesta:

No, da igual a 1



Potencias con exponente cero y negativo

a) ¿Por qué el primer resultado es igual a 1?

Respuesta:

No cuando son iguales por ti misma puedes darte cuenta que dará uno.

b) ¿Qué significado puede tener el exponente 0?

Respuesta:

El exponente a 0 siempre es igual a 1

c) Usando varios resultados

Respuesta:

Que al restarse las potencias iguales dará 0 lo que siempre será igual a 1

Analiza lo anterior y da respuesta

a) ¿Qué procedimiento se siguió para obtener?

Respuesta:

a) Se simplificó el resultado únicamente 

b) ¿Por qué es necesario establecer la última igualdad?

Respuesta:

b) Es siempre muy importante simplificar lo más posible. 

c) ¿Cuál sería el significado del exponente?

Respuesta:

c) 64

d) Usando ambos resueltos

Respuesta:

d) Que ambos resultados son correctos aun cuando se utilizó un procedimiento distinto. Además podemos notar que uno es más simple.

Potencias de base 100

a) Completa la siguiente tabla

Respuesta:

Ver explicación
Se puede hacer uso de las potencias de base 10…

a) ¿Qué regularidades observan en los?

Respuesta:

Por cada potencia negativa se disminuye un 0 de la cantidad original

b) ¿Hay alguna relación entre el exponente?

Respuesta:

Si, por cada potencia negativa se disminuye un 0 o bien entre mayor sea la potencia más ceros tendrá la cifra

c) ¿Cuál expresión usarían ustedes?

Respuesta:

140600000 x 10^0, porque sería como multiplicarlos por uno solamente

Notación científica

a) ¿Cuál es el dato que más les llama?

Respuesta:

La Anchura del pico de Orizaba, porque es muy largo

b) ¿Cuál es la unidad de medida?

Respuesta:

Unidades / personas

c) ¿Qué tienen en común todas?

Respuesta:

Tienen una potencia basada en 10

d) ¿Hay alguna relación?

Respuesta:

Si el número de la potencia -1 es igual al número de 0 que tiene la Notación común

e) ¿Qué relación perciben entre?

Respuesta:

Si el número de la potencia -1 es igual al número de 0 que tiene la Notación común

f) ¿Qué ventajas les parece que tiene?

Respuesta:

Es más corta sin embargo la notación común es más fácil de percibir visualmente

Elijan a un representante grupal

a) ¿Cuántos cabellos humanos apilados?

Respuesta:

a) 1.247771836 x 10-11

b) ¿Cuántos glóbulos rojos, dispuestos?

Respuesta:

b) 2.916666666 x 10-15

La operación inversa de la potenciación Tu conocimiento sobre las potencias es más solido..

b) ¿Cuál es la base que completa?

Respuesta:

  • 2^3

c) ¿Es posible que un número?

Respuesta:

3^4

d) ¿Qué número elevado a la quinta?

Respuesta:

2^5

a) ¿Qué número cumple con la primera igualdad?

Respuesta:

2^2

Realicenlo que se solicita a continuación

a) ¿Qué relación encuentran entre la expresión?

Respuesta:

Es la relación contraria, en una se saca b y en la otra a

b) ¿Qué relación encuentran entre la expresión?

Respuesta:

Es la relación contraria, en una se saca b y en la otra a

Realicen lo que se solicita a continuación.

d) Completen las siguientes tablas


Respuesta:

e)Con base en el inciso anterior

Respuesta:

f) ¿Qué semejanzas y diferencias observan?

Respuesta:

  • Se puede concluir que la raíz cuadrada de un número es la operación contraria de elevar a una potencia

g) ¿Qué semejanza y qué diferencia?

Respuesta:

Ambas son raíces, sin embargo una de ellas es una raíz cuadrada mientras que la otra es una potencia cúbica


h) ¿Cuál creen que sea la relación?

Respuesta:

Como se comentaba anteriormente una operación es contraria de la otra

I) ¿Cuál sería la raíz?

Respuesta:

Una raíz con decimales

Raíces positivas y negativas Tomen en cuenta las siguientes raíces..

a) ¿Cuál es la diferencia entre cada una de las expresiones?

Respuesta:

5, no se puede determinar y -5

b) ¿Cuál es el resultado en cada?

Respuesta:

La primera es positiva, la segunda no se puede llevar a cabo y la ultima es negativa

c) Usen dos radicandos diferentes

Respuesta:

√8, -√8 y √-8 y √16, -√16 y √-16

Considere las siguientes igualdades

a) ¿Por qué hay dos resultados para?

Respuesta:

Por la regla de los signos, no es para generar confusion únicamente se tiene que conocer ambas posibilidades

b) Calcula

Respuesta:

3, 1, 0

c) ¿Todas las raíces cuadradas tienen dos resultados

Respuesta:

SI, ya que tienen el lado menor a cero las cuales son negativas y mayor a cero las cuales son positivas

d) Da un ejemplo de una raíz cuadrada

Respuesta:

√9, -√9 y √-9

Aproximación de raíces cuadradas Considera la siguiente potencia..

a) ¿Hay algún número entero que cumpla?

Respuesta:

No porque 79 no es un número que tenga raíz cuadrada exacta

b) ¿Cuál es el mayor número?

Respuesta:

8

c) ¿Cuál es el menor número?

Respuesta:

9

d) Usando las respuestas de los incisos

Respuesta:

8^2 <79 y 79>9^2

e) reescribe la desigualdad

Respuesta:

√79 > 8^2 y 9^2< √79

f) ¿Qué has probado con lo anterior?

Respuesta:

Que la raíz cuadrada es la operación contraria a una raíz cuadrada

Métodos para aproximar raíces cuadradas Considera el valor de la siguiente raíz.

a) ¿Qué valor estimas que tiene la raíz cuadrada?

Respuesta:

Debe ser mayor a 9 pero menor a 10 por que la raíz de 81 es 9 y la raíz de 100 es diez y el 90 se encuentra entre esos dos números

b) ¿El valor puede ser 5?

Respuesta:

No, debe ser mayor a nueve

c) ¿El valor puede ser 50?

Respuesta:

No, porque debe de ser menor a 10

d) Si te dicen que el valor de la raíz

Respuesta:

Si, por que ni 9 ni 10 dan el resultado deseado

e) Con base en la respuesta del inciso anterior

Respuesta:

9.4 porque es el que más se le puede aproximar al número 79

f) Si te dicen que el valor de la raíz

Respuesta:

Podrían ser 2 decimales, ya redondeados para que nos den un número aproximado

g) ¿Cuántas cifras decimales son necesarias?

Respuesta:

Podrían ser 2 decimales, ya redondeados para que nos den un número aproximado

Sigan con atención..

a) ¿La raíz cuadrada de 140 es exacta?

Respuesta:

No porque el cuadrado de 11^2 es 121 y el de 12^2 es 144 y 140 se encuentra entre ambas cantidades

b) Determinen dos enteros positivos entre

Respuesta:

11 y 12

c) Ahora elijan dos números con solo una cifra

Respuesta:

11.5^2 y 11.7^2


d) Multipliquen por sí mismos los números

Respuesta:

11.5^2= 132.25 y 11.7^2= 136.89

Sigan con atención

e) Observen los resultados y determinen

Respuesta:

Aún no se han encontrado sin embargo si están muy aproximados

f) Ahora elijan dos números con dos números

Respuesta:

11.79 y 11.82,porque los que elegí anteriormente no llegan a la cantidad deseada, sin embargo es el que más se acerca


g) ¿Qué número con tres cifras decimales?

Respuesta:

11.832

Una aplicación de la raíz cuadrada Lee con atención la siguiente situación.

a) ¿Cuánto mide el lado de la habitación?

Respuesta:

4.25, sacándole la raíz cuadrada a 18

b) ¿De qué medida debería pedir Roberto?

Respuesta:

De 5m y tendrá que cortarlas .75 metros

c) Si Roberto debe colocar

Respuesta:

288, no tendrá que cortarlas ya que como miden .25 solo necesitará colocar 17 de cada lado

d) ¿Cuánto pagó Roberto en total en la tienda?

Respuesta:

26,619.5

e) ¿Cómo resolverían el problema de la colocación?

Respuesta:

La habitación mediría 3*6 conservando el área de 18 y necesitaría 12 zoclos de altura por 24 para el largo necesitando así 288 zoclos como el problema anterior

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