Secundaria. Segundo grado.

Matemáticas 2

Correo del Maestro

LECCIÓN 5. Relaciones de proporcionalidad directa e inversa

Respuestas del libro

1. Responde a partir de la información anterior.

Si consideramos que todos trabajan al mismo ritmo, ¿en cuánto tiempo elaborarían dos pays el mismo número de chefs?

Respuesta:

  • 120 horas.
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¿En cuánto tiempo elaboraran 3 pays? ¿Y 10 pays?

Respuesta:

  • tres pays se tardarian 180 horas.
  • 10 pays se tardarian 600 horas.
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¿Qué tipo de relación representa la situación anterior? Justifica tu respuesta.

Respuesta:

  • Representa una relación de proporcionalidad directa, porque al aumentar el número de pays aumentas las horas.
2. La siguiente tabla muestra cómo podría variar el tiempo de elaboración de pay si se modifica el número de cocineros, considerando que todos trabajan el mismo tiempo y al mismo ritmo.

¿Qué sucede con el tiempo de elaboración del pay al aumentar el número de cocineros?

Respuesta:

  • Disminuye el tiempo de elaboración del pay.

¿Qué sucede si trabajan menos cocineros?

Respuesta:

  • El tiempo de elaboración del pay aumenta.

¿Qué pasa si aumenta al doble el número de cocineros?

Respuesta:

  • El tiempo de elaboración del pay disminuye al doble.

¿Qué sucede si disminuye a la quinta parte?

Respuesta:

  • El tiempo de elaboración se quintuplica.

¿Cuántas horas tardarían en hacer el pastel 40 cocineros?

Respuesta:

  • Tardarísn 90 horas.
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¿Qué procedimiento usaste?

Respuesta:

  • Se divide 180 entre 2, ya que 40 es el doble de 20.
1. Resuelvan, en parejas, a partir de la información anterior.

¿Cuántos tacos tendría que comprar si invita a 15 amigos? Expliquen cómo obtuvieron la respuesta.

Respuesta:

  • 75, la respuesta se obtuvo multiplicando 15 por 5.

¿Qué exprsión algebraica te ayuda a determinar el número de tacos que necesita comprar Marcela de acuerdo con el número de amigos que asistirán a la fiesta?

Respuesta:

  • y = 5x, donde "y" representa el total y "5x" representa la multiplicación de 5 por el número de amigos.

Usando la expresión algebraica anterior, completa la tabla para que muestre la variación del número de tacos con respecto al número de invitados.

Respuesta:

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¿Qué pasa si el número de personas aumenta al doble?

Respuesta:

  • El número de tacos aumenta el doble.

¿Cómo es la variación entre el número de tacos y el número de invitados?

Respuesta:

  • Son directamente proporcionales, ya que los dos aumentan.
2. Analicen la información y resuelvan.

Si en lugar de cuatro amigos fueran ocho los que trabajaran en la construcción , ¿qué sucedería con el tiempo?

Respuesta:

  • Hicieran más rápido la cerca ya que se tardarían menos tiempo.

¿Cuántos días tardarían en hacer la cerca ocho amigos trabajando al mismo ritmo?

Respuesta:

  • 8 días.
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Si se reduce el número de amigos a la cuarta parte, es decir, si una sola persona hiciera la barda, ¿cuánto tardaría en construirla? Expliquen como obtuvieron la respuesta.

Respuesta:

  • La cerca se tardaría en construir 64 días, multiplicamos 16 por 4 ya que es una relación de proporcionalidad inversa, es decir que al aumentar una disminuye la otra.

Si el trabajo se hiciera en el doble del tiempo, ¿cuántos amigos habrían participado en la construcción?

Respuesta:

  • Solo 2 amigos.
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3. El club de rapel "Gorilas" cobra.... Respondan:

¿En qué club el costo representa una relación de proporcionalidad? ¿De que tipo es? Justifiquen su respuesta.

Respuesta:

  • En el club "Osos", representan una relación de proporcionalidad directa, ya que al aumentar el número de meses el costo también aumenta pero en la misma proporción.

¿Cuál es el valor de la constante en este caso?

Respuesta:

  • 360.
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4. La familia de Sofía quiere rentar una camioneta para irse de vacaciones....

Si viajan dos personas, ¿cuánto tendría que pagar cada una?

Respuesta:

  • $1750.00 por persona.
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¿Qué pasa si el número de personas se cuadruplica?

Respuesta:

  • El costo por persona disminuye a la cuarta parte.

¿Qué pasa si el número se reduce a la mitad?

Respuesta:

  • El costo por personas aumenta o se cuadruplica.

Consideren los siguientes grupos de viajantes y anoten lo que pagarían individualmente, en cada caso.

Respuesta:

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¿Qué hicieron para obtener los valores faltantes de la tabla?

Respuesta:

  • Dividimos $3500 entre el número de personas.

¿Por qué consideran que se le llama así? Expliquen su respuesta.

Respuesta:

  • porque si un factor aumenta el otro disminuye, ademas de que los factores se invierten y en ves de multiplicarse se dividen.

¿Qué número se obtiene si multiplican cada pareja de valores correspondientes de la tabla?

Respuesta:

  • se obtiene el costo de la renta de la camioneta, es decir 3500.
5. La siguiente tabla muestra una relación de proporcionalidad inversa. Complétenla.

Tabla.

Respuesta:

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¿Cómo obtuvieron los valores de y?

Respuesta:

  • Dividiendo 1000 entre cada uno de los valores de x.

¿Cómo podrían obtener los valores de x a partir de los de y ?

Respuesta:

  • Al revés, es decir, dividiendo 1000 entre los valores de y.

¿Existe alguna constante? ¿Cuál es su valor? Expliquen cómo obtuvieron la respuesta.

Respuesta:

  • Si.
  • El valor de la constante es 1000.
  • La respuesta se obtiene por lógica, ya que la constante es el valor con el que iniciamos.
1. Completa las siguientes tablas y escribe la expresión algebraica que representa cada situación.

Tablas.

Respuesta:

¿Qué tipo de relación representan los datos de las tablas?

Respuesta:

  • En la primera tabla es una relación de proporcionalidad directa, y en la segunda tabla no representa ninguna relación de proporcionalidad.
2. Emilia quiere comprar 3 canastas, por las que pagaría $45.00, pero si decide comprar dos más, pagaría $60.00,

¿Existe algún tipo de proporcionalidad entre el precio y el número de canastas? ¿Por qué?

Respuesta:

  • no existe ningún tipo de proporcionalidad, el precio de las canastas no aumenta de forma constante.
3. Leonel leyó un libro en 6 días a un ritmo de 20 páginas por día.

Si su hermana quiere leerlo en la mitad del tiempo, ¿cuántas páginas deberá leer por día?

Respuesta:

  • Debe de leer 40 páginas por día.
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¿Qué tipo de variación existe entre el número de páginas que lee en un día y el tiempo que tarda en leer el libro?

Respuesta:

  • Es una variación de proporción inversa.
1. Resuelvan, en parejas, lo siguiente.

Si solo se tienen tres días para llenar la alberca, ¿se requieren más mangueras o menos?

Respuesta:

  • Más mangueras.

Describan su racionamiento.

Respuesta:

  • Si con 6 mangueras la alberca se llenaría en 4 días es obvio que se necesitan más mangueras para que la alberca este llena a tiempo.

¿Qué tipo de proporcionalidad representa esta situación? ¿Por qué?

Respuesta:

  • Representa proporcionalidad inversa, ya que si un valor aumenta el otro disminuye.

Escriban que operación debe realizarse para encontrar el valor de x.

Respuesta:

  • se debe de multiplicar el 4 por el 6 y el resultado dividirlo entre 3.

¿Cuántas mangueras con la misma presión se requieren para llenar la alberca en tres días?

Respuesta:

  • Se requieren 8 mangueras.
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Multiplica los números de cada fila de la tabla. ¿Existe alguna regularidad?

Respuesta:

  • Si, ya que en ambas situaciones el resultado es 24.

¿Qué representa el resultado anterior en la relación?

Respuesta:

  • la constante.
2. En el pueblo de Omtlán organizaron una recolecta de arena para ayudar...

La siguiente tabla muestra como varía el número de viajes de acuerdo con el número de toneladas que se transporten. Completen la tabla.

Respuesta:

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Expliquen su procedimiento para llenar la tabla.

Respuesta:

  • Para llenar la tabla se siguió una regla de tres la cual consiste en multiplicar el número de viajes por la capacidad de transportación y después dividirlo entre el valor siguiente de la capacidad de transportación, ejemplo: (6x2)÷4.

¿Encuentran alguna regularidad al multiplicar los valores correspondientes de ambas columnas?

Respuesta:

  • Si, al multiplicarlos todos nos dan el valor de 12.

Utilicen su resultado para determinar cuantos viajes se harían con un camión de 1 1/2 toneladas. ¿Cómo obtuvieron el resultado?

Respuesta:

  • Se haría un total de 8 viajes y el resultado se obtiene dividiendo 12÷1.5=8.
1. Completa las siguientes tablas, identifica el tipo de proporcionalidad y encuentra la constante de cada una.

Tabla 1 y 2

Respuesta:

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¿Cómo varía el valor de y con respecto a x en cada caso?

Respuesta:

  • En la tabla 1: cuando el valor de x disminuye el valor de y aumenta.
  • En la tabla 2: cuando el valor de x disminuye el valor de y también disminuye.

¿Cómo encontraste la constante de proporcionalidad en cada caso?

Respuesta:

  • En la tabla 1 se multiplica el valor de x por el de y.
  • En la tabla 2 se divide el valor de y entre el de x.
2. Dadas las siguientes proporciones, determinen si la relación es directa o inversa y obtengan la constante de proporcionalidad correspondiente.

a. x y

2.5----------12 .5

8------------ 40

Respuesta:

  • Proporción:directa
  • Constante: 5
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b. x y

8---------- 18

2---------- 72

Respuesta:

  • Proporción: inversa
  • Constante: 44
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Escribe una expresión algebraica que muestre la variación de y con respecto a la variación de x en cada inciso. a.___________ b.________

Respuesta:

  • a. y=5x
  • b. y= 144/x

Utiliza las expresiones algebraicas encontradas para completar las tablas que se presentan a continuación.

Respuesta:

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1. Resuelve, en pareja, lo siguiente:

La clínica "Tu Salud" decidió digitalizar todos los expedientes de sus pacientes para facilitar su consulta, y para ello contrató a 5 capturistas. Cada semana (5 días hábiles) capturan 300 expedientes en promedio y deben capturar 1200 expedientes en total.

¿Cuántos días tardarán en hacer la captura total trabajando a ese ritmo? Expliquen su razonamiento.

Respuesta:

  • Se tardarán 20 días, se debe de dividir el total de los expedientes por el número de los expedientes que se hacen al día.

Antes de empezar el trabajo, el jefe de informática hizo una tabla para analizar cómo se optimizaría el tiempo si se aumentaba el número de capturistas. Completa la tabla conservando la proporción.

Respuesta:

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Si la dirección de la clínica quiere el trabajo hecho en 10 días, ¿cuántos capturistas más tendría que contratar? ¿Y para terminarlo en 4?

Respuesta:

  • Para terminarlo en 10 días se necesitan 10 capturistas más y para terminarlo en 4 días se necesitan 20 capturistas más.
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¿Cuánto vale la constante de proporcionalidad?

Respuesta:

  • 100
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Escriban una expresión algebraica que muestre la variación en los días cuando varía el número de capturistas.

Respuesta:

  • La expresión seria: Días = 100 ÷ el número de capturistas.
2. Una lancha tarda 3 horas en ir de la playa a una isla, navegando a 15 nudos (kn) por hora de manera constante.

Completen la siguiente tabla, que muestra la variación del tiempo con respecto a la velocidad de la lancha:

Respuesta:

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¿A qué velocidad irá la lancha si tarda 45 minutos en cruzar?

Respuesta:

  • Debe de ir a una velocidad de 60 nudos por hora.
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¿Cuántas horas tardará en cruzar la lancha si avanza 9 nudos por hora?

Respuesta:

  • tardara 5 horas
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¿Cuál es el valor de la constante?

Respuesta:

  • es de 45

Escriban una expresión algebraica que muestre el valor de y cuando x varía:

Respuesta:

  • y = 45÷x
3. El papá de Mario compró un terreno rectangula de 480 m^3. Mario quiere construir tres casas en el terreno pero su papá no le dio las dimensiones...

¿Cuál es el ancho del terreno si éste mide 20 m de largo? ¿Cuál es el ancho del terreno si este mide 10 m de largo?

Respuesta:

  • 24 y 48 metros.
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Completen la siguiente tabla, que muestra cómo varía el ancho de acuerdo con el largo del terreno.

Respuesta:

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Si el terreno mide 15 metros de largo, ¿cómo puede calcularse su ancho? Escriban una expresión para calcular el ancho del terreno de acuerdo con la medida del largo (x).

Respuesta:

  • si el terreno mide 15 m de largo la operación es la siguiente: 480÷14.
  • la expresión para calcular el ancho es: 480÷x

¿Qué es el valor constante?

Respuesta:

  • es el área del terreno, es decir, 480

¿Cómo se relaciona el valor constante con el producto de los valores de las columnas de la tabla?

Respuesta:

  • Que al multiplicar los valores de las columnas se obtiene el valor constante.
1. En la luna la fuerza de gravedad es la sexta parte de la fuerza de gravedad en la tierra. Si el récord de salto de altura, alcanzado por Javier Sotomayor, es de 2.48 m.

¿Cuánto podría saltar Sotomayor en la Luna?

Respuesta:

  • 14.88 m
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2. Un equipo de 20 campistas lleva víveres para 21 días.

Si 6 personas del equipo renuncian al campamento, ¿para cuántos días alcanzarían los víveres? Justifica tu respuesta

Respuesta:

  • 30 días, esto se debe a que es una proporción inversa y si multiplicamos 20 por 21 nos da 420 y luego esto lo dividimos entre el número de campistas que van a ir,e es decir 14, nos da un igual a 30 días.
3. Las sombras que proyecta una persona a determinadas horas del día son directamente proporcionales, es decir, cuanto más alta es la persona, más larga es la sombra.

¿Cuánto mide un árbol que proyecta una sombra de 3.5 m si la sombra de un poste de 1.2 m de alto proyecta una sombra de 2 m? Describe tu razonamiento.

Respuesta:

  • 2.1 m
  • Primero sacamos la constante al dividir 1.2÷6 y el resultado que nos dio lo debemos de multiplicar por 3.5, por que nos damos cuenta que esto es una relación de proporcionalidad directa.
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