Secundaria. Segundo grado.

Matemáticas 2

Correo del Maestro

LECCIÓN 8. Los polígonos y sus ángulos

Respuestas del libro

1.Dibuja en el octágono de la izquierda las líneas que se pueden trazar, respetando la condición de no repetir líneas. Considera que Regina inicia el juego.

octágono

Respuesta:

¿Cuántas líneas pintó Regina?

Respuesta:

  • 5 lineas

¿Cuántas líneas pintaron en total y dibujaste en el octágono?

Respuesta:

  • 20 lineas

Si Esperanza hubiera iniciado el

juego, ¿cuántas lineas habría trazado?. ¿Y si hubiera sido María?

Respuesta:

  • La primera persona en iniciar siempre va a trazar 5 lineas

¿Estás de acuerdo con el comentario de Natalia?

Respuesta:

  • Si, porque su única opción seria pintar lineas sobre las que ya se pintaron

Anota en la tabla cuántas líneas trazaría cada alumna si se sigue el orden que se muestra.

Recuerda que las líneas no se pueden superponer.

Respuesta:

¿Cuántas diagonales tiene un cuadrado?

Respuesta:

  • 2

¿Cuántas diagonales parten de cada vértice?

Respuesta:

  • 1

Si el polígono en el patio fuera un hexágono, ¿cuántas diagonales partirían de cada vértice?

Respuesta:

  • 3
2. Tracen todas las diagonales de los polígonos y completen las expresiones.

Tabla y figuras

Respuesta:

¿Qué relación hay entre el número de lados de cada polígono y el número de diagonales desde un vértice?

Respuesta:

  • El número de diagonales es igual al número de lados menos 3

Escriban una expresión algebraica que permita calcular el número de diagonales que parten de cada vértice de un polígono de n lados.

Respuesta:

  • n - 3

En la expresión anterior, ¿existe alguna diferencia si el polígono es regular o no? Expliquen porque.

Respuesta:

  • no existe ninguna diferencia, porque todo depende del número de vértices de la figura
2. Dibuja en tu cuaderno un heptágono, un nonágono y un decágono, convexos; traza todas sus diagonales, cuéntalas y completa la tabla.

Tabla.

Respuesta:

En caso del heptágono si multiplican el número de los lados por el número de diagonales desde un vértice, ¿cómo podrían obtener el total de diagonales?

Respuesta:

  • Dividiendo el resultado entre 2

Lo anterior se repite en los otros polígonos?

Respuesta:

  • si

A partir de lo anterior, escriban una fórmula o expresión que permita obtener el total de diagonales de un polígono de n lados. Justifiquen su respuesta.

¿La fórmula funciona para triángulos? ¿Por qué?

Respuesta:

  • n(n -3)/2, porque de cada vértice parten n - 3 diagonales y no las cuento dos veces, por eso tengo que dividir entre dos.
  • Si, porque no tiene diagonales. 3(3 - 3)/2 = 0
1. En parejas, tracen todas las diagonales desde el vértice C en el siguiente hexágono.

Hexagono con las diagonales.

Respuesta:

¿Cuántos triángulos se forman en el hexagono?

Respuesta:

  • 4 triángulos.

¿Cuántos suman los ángulos interiores de cada triángulo?

Respuesta:

  • 180°

¿Qué relación hay entre los ángulos de los triángulos que se forman y los ángulos del hexagono?

Respuesta:

  • Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°, entonces los ángulos del hexágono son iguales a la suma de los triángulos que se forman.

¿cuánto suman los ángulos interiores del hexágono? ¿cómo lo determinaron?

Respuesta:

  • 720°
  • lo determinamos multiplicando 180 x 4 = 720

¿Qué operación realizarían para determinar la suma de los ángulos interiores del hexágono a partir del número de triángulos en que se divide?

Respuesta:

  • Multiplicar 4 por 180
2. Ahora, analicen el siguiente pentágono.

¿En cuántos triángulos se puede dividir desde un vértice?

Respuesta:

  • En 3

¿Cuánto suman los ángulos interiores de los triángulos en los que se divide?

Respuesta:

  • 540 grados

El resultado anterior ¿tiene alguna relación con la suma de los ángulos interiores del pentágono? Justifiquen su respuesta.

Respuesta:

  • Si, la suma de los ángulos de los triángulos es igual a la suma de los ángulos interiores del pentágono, ya que al ser 3 triángulos se multiplica 180 x 3 = 540
3. Tracen las diagonales desde un mismo vértice en los siguientes polígonos y completen la tabla.

Figuras y tabla

Respuesta:

Escriban una expresión para el número de triángulos en los que se divide un polígono de n lados al trazar las diagonales desde un mismo vértice.

Respuesta:

  • n - 2

¿Cómo se puede calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados, a partir del número de triángulos en que se divide?

Respuesta:

  • Multiplicando el número de triángulos por 180 grados.

Escriban una expresión para encontrar la suma de los ángulos interiores d eun polígono de n lados.

Respuesta:

  • (n - 2) 180
1. En la granja de don Pepe se quiere construir un coral con forma de hexágono regular, como el modelo que se muestra.

¿Qué características tienen los ángulos interiores de un polígono regular?

Respuesta:

  • Todos miden lo mismo

¿Cuánto suman los ángulos internos del corral?

Respuesta:

  • 720 grados

¿Cómo determinarían la medida de cada ángulo?

Respuesta:

  • Dividiendo la suma entre 6

¿Cuánto tiene que medir cada ángulo interior del corral de don Pepe?

Respuesta:

  • 120 grados
2. Analicen los siguientes polígonos regulares y determinen la medida del ángulo interior.

Tabla

Respuesta:

¿Cómo determinarían la medida de cada ángulo sin medir?

Respuesta:

  • Dividiendo la suma de los ángulos interiores entre el número de lados.

¿Cuánto suman los ángulos interiores de un dodecágono?

Respuesta:

  • 1800 grados

Si es regular, ¿cuánto mide cada ángulo interior?

Respuesta:

  • 150 grados

Si un polígono regular tiene n lados, ¿cuántos suman sus lados interiores?

Respuesta:

  • (n -2) 180

¿Qué expresión representa la medida de cada ángulo interior de un polígono regular de n lados?

Respuesta:

  • (n - 2) 180/2
3. Verifiquen su formula y completen la tabla con base en polígonos regulares.

Tabla

Respuesta:

1. Considera el pentágono regular de la derecha y traza un triángulo uniendo los vértices del lado AB con el centro del pentágono.

¿Qué tipo de triángulo se traza?

Respuesta:

  • un triángulo isósceles.

Calcula la suma de los ángulos A y B del triángulo

Respuesta:

  • 108°

¿Existe alguna relación de los ángulos A y B con los ángulos interiores? Explica tu respuesta.

Respuesta:

  • si, la suma es igual a la medida de un ángulo interior.

Determina la medida de los ángulos A,B y C.

Respuesta:

  • A: 54 grados, B: 54 grados y C: 72 grados

La medida del ángulo C es la medida del ángulo central del pentágono. Calcula la suma de los ángulos centrales del pentágono.

Respuesta:

  • 360 grados
2. Calcula la medida del ángulo central y la suma de ellos para cada uno de los siguientes polígonos, y escríbelo debajo de la figura.

Figuras y Tabla

Respuesta:

¿Cómo se puede calcular la medida del ángulo central de un polígono regular a partir del número de lados?

Respuesta:

  • Dividiendo 360 grados entre el número del lados

Escribe una expresión para calcular el ángulo central de un polígono regular de n lados.

Respuesta:

  • 360/n
3. Calculen el ángulo exterior de un octágono regular, utilicen la imagen para determinarlo.

¿Qué relación hay entre cada ángulo interior y exterior del polígono?

Respuesta:

  • Son ángulos suplementarios es decir, suman 180°

¿Cuánto mide cada uno de los ángulos exteriores?

Respuesta:

  • 45°

¿Que hicieron para calcularlo? Describan su procedimiento.

Respuesta:

  • Restamos el ángulo interior a 180

¿Qué relación encuentran entre el 'angulo central y el exterior en el octágono regular?

Respuesta:

  • Que miden lo mismo
1. Responde.

Si un polígono tiene en total 90 diagonales, ¿cuántos lados tiene?

Respuesta:

  • 15

¿Cuántas diagonales parten en cada vértice?

Respuesta:

  • 4 diagonales

¿Cuál es el número de triángulos que se forman con las diagonales?

Respuesta:

  • 5 triángulos.
2. Si un polígono tiene 27 diagonales, entonces:

¿Cuántos lados tiene el polígono?

Respuesta:

  • 9 lados

¿Cuántas diagonales parten de cada uno de sus vértices?

Respuesta:

  • 8 diagonales

Si se divide el polígono en triángulos partiendo de un mismo vértice, ¿cuántos triángulos se forman?

Respuesta:

  • 7 triángulos

¿Cuánto suman los ángulos interiores del polígono?

Respuesta:

  • 1260 gardos
Dado un polígono regular con 14 lados, determina:

Número de diagonales desde cualquier vértice:

Respuesta:

  • 11 diagonales

Número de triángulos en los que se divide:

Respuesta:

  • 12 triángulos

Suma de sus ángulos interiores:

Respuesta:

  • 2160°
Ver explicación

Medida de ángulo interior:

Respuesta:

  • 154.29°
Ver explicación

medida del ángulo central:

Respuesta:

  • 25.71°
Ver explicación

Medida del ángulo exterior:

Respuesta:

  • 25.71°
4. Encuentra el valor del ángulo x en cada figura.

Figura 1 : x =________ Figura 2 : x =__________

Respuesta:

  • Figura 1: x = 48°
  • Figura 2: x = 102.72°

¿Cómo calculaste el ángulo x? Describe el procedimiento.

Respuesta:

  • Figura 1: como es una figura de cuatro lados, la suma de los ángulos interiores es igual a 360 grados. Primero, para calcular el ángulo interior de A se resta 180 - 69 = 111. Luego se resta a 360 los ángulos interiores: 360-111-111-90 = 48.
  • Figura 2: como es una figura de 5 lados, los ángulos interiores deben sumar 540°. Para calcular el ángulo interior de A se resta a 360-258.34 = 101.66. Después se resta a 640 los ángulos interiores: 540-101.66-114.97-111.53-109.12 = 102.72.

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