Secundaria. Segundo grado.

Matemáticas 2

Correo del Maestro

LECCIÓN 9. Construcción de polígonos regulares y teselados

Respuestas del libro

1. Los panales de abejas están formados por hexágonos regulares, de manera que se puede almacenar la mayor cantidad de miel en el menor espacio posible.

¿Qué características tienen los hexágonos que permiten a las abejas formar sus panales?

Respuesta:

  • Se pueden acomodar uno junto a otro.

¿Cómo podrías dibujar un hexágono regular utilizando regla y compás?

Respuesta:

  • Dibujando seis triángulos equiláteros del mismo tamaño con un mismo vértice.

¿Qué polígono se formó?

Respuesta:

  • Un hexágono

¿Cómo puedes determinar que la figura que se formó es un polígono regular?

Respuesta:

  • Por la medida de sus ángulos centrales; todos miden lo mismo.

¿Qué características tiene el círculo?

¿Cómo podrías trazar el polígono a partir de la circunferencia?

Respuesta:

  • Pasa por todos los vértices del polígono que se forma.
  • Dividiendo la circunferencia en seis segmentos iguales.
1. Resuelvan en parejas las siguientes actividades.

¿Están de acuerdo con el procedimiento de Paulina?

Respuesta:

  • Si, teniendo esa medida se podrían encontrar los vértices del octágono sobre la circunferencia.

¿Cuánto debe medir el ángulo central del octágono?

Respuesta:

  • 45 grados

Utilicen el procedimiento de Paulina y comprueben que se puede trazar un octágono regular en la circunferencia de la derecha.

¿Lograron trazar un octágono regular?

Respuesta:

  • Si, porque sus ocho ángulos centrales son iguales.
2. Ahora, determinen la medida del ángulo central de un triángulo equilátero, un pentágono regular y un nonágono regular y tracénlos sobre las siguientes circunferencias, siguiendo........

Circunferencias

Respuesta:

Utilizando el ángulo central, ¿existe alguna limitación para la construcción de un polígono regular de n lados?

Respuesta:

  • No, siempre se puede dividir 360 entre n y repetir el procedimiento.
1. Martín, un compañero de Paulina, decidió utilizar el ángulo interior para construir el octágono....

¿Cuánto mide el ángulo interior del octágono?

Respuesta:

  • 135 grados
2. Dados los siguientes segmentos, construye un cuadrado, un hexágono y un decágono utilizando el ángulo interior del polígono.

Segmentos con ángulo interior.

Respuesta:

Describe cómo podrían construir un polígono regular de n lados dada la longitud de sus lados.

Respuesta:

  • Calculando el ángulo interior a partir del número de lados, y trazando dicho ángulo tantas veces como lados tenga el polígono.
3. Para validar tu procedimiento, construye en tu cuaderno un polígono regular de 5 cm de lado a partir de sus ángulos interiores.

¿Qué ángulo: el central o el interior, es más útil para construir un polígono regular? Explica tu respuesta.

Respuesta:

  • Depende del método de trazo que se utilice y pero es mejor elegir el que parezca más adecuado a la situación.
4. Pablo quiere construir el octágono a partir de la medida de sus lados, usando el ángulo exterior:

¿Qué procedimiento se podría aplicar para construirlo?

Respuesta:

  • De manera similar al trazo desde el ángulo interior, se traza el ángulo exterior 8 veces.

Determina la medida de los ángulos exteriores de un octágono regular.

Respuesta:

  • 45 grados

Octágono trazado

Respuesta:

Describe los pasos para terminarlo

Respuesta:

  • Primero se traza un segmento de la medida de uno de los lados del octágono, a partir de este se traza el ángulo exterior de 45 grados con le transportador y se vuelve a repetir el procedimiento hasta acabar la figura.
5. Traza un pentágono y un hexágono regular utilizando la medida de su ángulo exterior; usa el segmento como el lado del polígono.

Pentágono y hexágono con su ángulo exterior

Respuesta:

1. Ernesto tiene muchas ganas de disfrutar con sus amigos el fin de semana y les quiere proponer volar un papalote con forma de pentágono regular, hecho con varas de 20 cm....

¿Cuánto mide el ángulo central del pentágono?

Respuesta:

  • 72 grados

¿Cuánto miden los otros ángulos del triángulo que se forma? Explica como lo calculaste.

Respuesta:

  • 54 grados, si se restan 72° a 180 grados quedan 108 grados, y sis se divide entre dos nos queda 54 grados.

¿Podrá construir el pentágono con este procedimiento? Explica por que.

Respuesta:

  • si, porque al repetir la medida del lado sobre la circunferencia se forma un pentágono.

¿Se podría seguir el procedimiento de Ernesto para trazar cualquier polígono a partir de la medida de sus lados?

Respuesta:

  • Si, porque al utilizar la circunferencia como base y dividirla según la medida de cada lado se forma un polígono regular.
2. Traza los siguientes polígonos con la medida de lado que se indica.

¿Cómo pueden determinar el centro de cada polígono?

Figuras

Respuesta:

  • con la forma del triángulo que se forme
1. En parejas, resuelvan lo siguiente:

¿Han observado el diseño de los pisos de mosaico o loseta de salones, museos o incluso de algunos baños? Describan su forma.

Respuesta:

  • Distintos polígonos que pueden colocarse uno junto al otro.

¿Cuánto suman los ángulos que se comparten un mismo vértice en los mosaicos?

Respuesta:

  • 360 grados

¿Con qué polígonos regulares se puede formar un teselado regular?

Respuesta:

  • Con el triángulo, el cuadrado y el hexágono

En esos casos, ¿cuánto suman los ángulos que coinciden en un mismo vértice?

Respuesta:

  • 360 grados

¿Podrían colocar losetas en forma de pentágono regular y cubrir el plano? ¿Por qué?

Respuesta:

  • No, porque colocar más polígonos deja huecos entre ellos.

¿Podría teselarse el plano únicamente con octágonos regulares?¿Por qué?

Respuesta:

  • No, en este caso se sobreponen los octágonos.
2. Para investigar con que polígonos regulares se pueden formar teselados semirregulares, completen la tabla siguiente.
3. Seleccionen las combinaciones de figuras con las que se podría formar un teselado semirregular, y en cada elección anoten cuántas figuras de cada tipo coinciden en un mismo vértice......

a. Cuadrados y triángulos.

Respuesta:

  • si

b. Hexágonos y octágonos.

Respuesta:

  • no

c. Dodecágonos, cuadrados y hexágonos.

Respuesta:

  • si

d. Cuadrados y octágonos.

Respuesta:

  • Si

e. Cuadrados, hexágonos y octágonos.

Respuesta:

  • No

f. Hexágonos, triángulos y cuadrados.

Respuesta:

  • Si

g. Dodecágonos y triángulos.

Respuesta:

  • Si
6. Analicen las figuras que forman el siguiente esquema y respondan.

¿Se puede teselar el plano siguiendo este patrón?Justifiquen su respuesta.

Respuesta:

  • Si, porque los ángulos que se juntan en un vértice suman 360 grados
8. La siguiente imagen es un detalle de un mosaico.....Identifiquen el patrón haciendo trazos con su compás en el esquema que se muestra.

Esquema

Respuesta:

  • Lo rosa es el patrón.

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