Secundaria. Segundo grado.

Matemáticas 2 Espacios Creativos

Editorial Santillana

Secuencia didáctica 29. Método de sustitución y de suma y resta

Respuestas del libro

Método de sustitución y de suma y resta
  1. Un veterinario cuenta con 56 galletas Lee el problema y contesta.

Respuesta:

a)     ¿Cuáles son las incógnitas? Perros y gatos

b)    Escribe el sistema de ecuaciones ....

Primero asignamos una variable a perros y gatos, donde tenemos lo siguiente: 

X: Perros 

Y: Gatos

Con ello tenemos que realizar un sistema de ecuaciones de 2x2 teniendo ambas situaciones.

En la primera situación sabemos que el veterinario cuenta con un total de 10 animales de los cuales son perros y gatos, con esa información obtenemos la siguiente ecuación: 

X+Y=10

Segunda situación sabemos que les ofrece 6 galletas a los perros y 5 a los gatos; donde el veterinario cuenta con un total de 56 galletas. Con esa información obtenemos

6X+5Y=56

 

A continuación, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 

X+Y=10 Ec.1

6X+5Y=56 Ec.2

c)     Elige la ecuación ...

En este caso la ecuación 1 es la más sencilla, lo que hacemos es lo siguiente: 

X+Y=10

Y=10-X   respuesta

d)    ¿En qué te basaste...

Debido a que tiene uno o varias variables con un coeficiente 1


e)    Sustituye la ecuación ... 

6X+5Y=56

6X+5(10-X) =56

f)      Aplica la propiedad distributiva ...

6X+50-5X=56

6X-5X=56-50

X=6

g)     ¿Qué representa este resultado?

La cantidad de perros que tiene el veterinario.

h)    Sustituye el valor ...

X+Y=10

6+Y=10

Y=10-6

Y=4

i)      ¿Qué sucede ...

Sabemos que X=6

Ecuación despejada: Y=10-X

Y=10-6

Y=4

Encontramos que obtenemos el mismo resultado.

j)      ¿Por qué será necesario comprobar ...

 Nos ayuda a verificar que el resultado que obtuvimos es correcto.

SUSTITUCIÓN

Ver explicación
Resuelve en parejas
  1. Un automovilista compró 3 envases ...

Respuesta:

a)     ¿Cuáles son las incógnitas? Las incógnitas serían los envases de litro y de medio litro.

b)    Escriba en su cuaderno... 

En este caso debemos de asignar una variable (incógnita) a cada envase: 

X: Litro

Y: Medio litro

Sabemos que, para la primera situación, el automovilista compró 3 envases de un litro y 4 de medio litro haciendo un pago total de $340, con ello tenemos la siguiente ecuación: 

3X+4Y=340 Ec 1

Para la segunda situación, sabemos que por un envase de litro y 3 de medio litro pagará $180, con ello tenemos la siguiente ecuación: 

X+3Y=180 Ec 2

c)     Despejen una incógnita ...

En este caso usamos la ecuación 2 para despejar debido a que el coeficiente de la variable “X” es 1.

Con ello tenemos lo siguiente: 

X=180-3Y

d)    ¿Por qué eligieron despejar esa incógnita? 

Más fácil de despejar debido a que tiene una variable que contiene coeficiente 1

e)    Sustituyan la expresión por otra ecuación.

En este caso sería sustituir el valor X de la Ec 2 en la Ec1. Hacemos lo siguiente: 

3(180-3Y) +4Y=340

f)      Apliquen la propiedad distributiva ... 

3(180-3Y) +4Y=340

540-9Y+4Y=340

-5Y=340-540

-5Y=-200

Y=-200/-5

Y=40

g)     Sustituyan el valor....

3X+4Y=340

3X+4(40) =340

3X+160=340

3X=340-160

3X=180

X=180/3

X=60

 

1)    Inventa un problema ...

a)     X+3Y=4     Ec1

3X+4Y=2   Ec2

Despejamos X de la ecuación 1: 

X=4-3Y

Sustituimos el valor X en la segunda ecuación:

3(4-3Y) +4Y=2

12-9Y+4Y=2

-5Y=-10

Y=-10/-5

Y=2

Sustituimos este valor en otra ecuación para encontrar la otra incógnita.

X=4-3Y

X=4-3(2)

X=-2

 

b)    4X-Y=7 Ec1

3X+2Y=8 Ec2


Despejamos “Y” de la ecuación 1 

4X-Y=7

4X=Y+7

4X-7=Y

Y=4X-7

El siguiente paso sería sustituir el valor de Y en una de las ecuaciones

3X+2Y=8

3X+2(4X-7) =8

3X+8X-14=8

3X+8X=8+14

11X=22

X=2

Sustituimos el valor “X” en una de las ecuaciones

4X-Y=7

4(2)-Y=7

8-7=Y

Y=1

Método de suma y resta
  1. Dos familias visitaron un museo

Respuesta:

a)     ¿Cuáles son las incógnitas? 

En este caso las incógnitas serían los adultos y los niños

b)    Si representamos como X= el precio del boleto ...

X+4Y=545

2X+3Y=565

c)     Multipliquen la primera ecuación por dos ...

X+4Y=545 Ec.1

2X+3Y=565 Ec.2

Hacemos lo siguiente

2X+8Y=1090 Ec.1

2X+3Y=565   Ec.2 

d)    Multipliquen por -1 una de las ecuaciones...

En este caso lo multiplicamos en la segunda ecuación.

2X+8Y=1090 Ec.1

-2X-3Y=-565   Ec.2

5Y=525

Y=525/5

Y=105

e)    ¿Siempre se tendrá que multiplicar por -1 o de qué depende? 

Siempre que exista en las dos ecuaciones una variable ya sea “X” o “Y”, del mismo tipo que tengan el mismo coeficiente, y se puedan restar “X” con “X” y “Y” con “Y”, en si no se debe hacer que ambos tengan el mismo coeficiente.

Puedes VER más información en

 

f)      ¿Por qué consideran que se requieren diferentes signos? 

Debido a que se debe de eliminar una de las variables para que podamos encontrar un valor y de ahí poderlo sustituirlo en una de las ecuaciones.

Puedes VER más información en: 


g)     Escriban en cada casilla ...


h)    Escriban la nueva ecuación resultante: 

2X+8Y=1090

-2X-3Y=-565

5Y=525

Y=525/5

Y=105

i)      Resuelvan la ecuación:

2X+8Y=1090

2X+8(105) =1090

2X+840=1090

2X=1090-840

2X=250

X=125

j)      ¿Qué representa este resultado?

X=125; representa el costo del boleto adulto  

Y=105; representa el costo del boleto niño

 MÉTODO DE SUMA Y RESTA

Ver explicación
Continuación

K) Sustituya este valor en cualquiera de las ecuaciones


Respuesta:

2X+8(105) =1090

2X+840=1090

2X=1090-840

2X=250

X=125

2) El perímetro del cuadrado exterior ...

Respuesta:

a)     ¿Cuánto mide por lado el cuadro exterior? Lado = X+Y

b)    ¿Cómo representan algebraicamente su perímetro? 4(X+Y) =100; 4X+4Y=100

c)     ¿Cómo representan el perímetro del cuadro interior? 4(X-Y) =60; 4X-4Y=60

d)    ¿Cuál sistema de ecuaciones representa ambos perímetros?

4X+4Y=100

4X-4Y=60

e)    ¿Se tienen que igualar los coeficientes de alguna incógnita para resolverla? No ya que podemos restar 4Y -4Y de ambas ecuaciones.

f)      ¿Tendrían que multiplicar por -1 alguna ecuación? 

No, ya que podemos restar 4Y -4Y de ambas ecuaciones.

g)     ¿Cómo queda la ecuación al reducir los términos semejantes?

8X=160

h)    Resuelvan la ecuación

8X=160

X=160/8

X=20

i)      Sustituyan en su cuaderno, el valor en una de las ecuaciones.

4X+4Y=100

4(20) +4Y=100

80+4Y=100

4Y=100-80

4Y=20

Y=20/4

Y=5

Ver explicación
Análisis de procedimiento
  1. Analicen los pasos empleados

Respuesta:

¿Hay algún error en el procedimiento?

            Existe error desde el inciso A

a)    Despejamos cualquier incógnita en cualquiera de las ecuaciones.

5w+3h=86

7w+8h=166

Despejamos la ecuación 2 

W=(166-8h) /7

b)    Sustituimos el despeje en la otra ecuación.

5((166-8h) /7) +3h=86

c)     Resolvemos.

5(166-8h) +21h=86(7)

830-40h+21h=602

-40h+21h=602-830

-19h=-228

h=-228/-19

h=12

d)    Sustituyendo el valor de la variable en el despeje del primer paso tenemos que 

W=(166-8h) /7

W= (166-8(12)) /7

W= 70/7

W=10

2.Analicen los pasos que realizaron 

Respuesta:

6m+5n=113

3n+8m=125

Continuación

e) ¿Es correcto el resultado? 

Respuesta:

a)    Primero lo que hacemos es alinear m con m, n con n.

6m+5n=113

8m+3n=125

Lo que haremos es multiplicar la primera ecuación por (-3) y la segunda ecuación por (5).

b)    Retomamos la primera y segunda ecuación y resolvemos por el método de suma y resta.

-18m-15n=-339

40m+15n=625

______________

22m+0n=286

c)     Despejamos la variable de la ecuación restante

22m=286

m=286/22

m=13

d)    Sustituimos el valor de la variable en cualquier ecuación

6m+5n=113

6(13) +5n=113

5n=113-78

5n=35

n=35/5

n=7

Resuelvan en parejas

Respuesta:

1)    Resuelvan en su cuaderno los sistemas de ecuaciones

a)    X+Y=1

X-Y=3

_______

2x=4

X=2

X+Y=1

2+Y=1

Y=1-2

Y=-1

b)    4X-Y=-6

X+3Y=5


Multiplicamos por 3 la primera ecuación y aplicamos el método suma y resta.

12X-3Y=-18

X+3Y=5

___________

13X=-13

X=-13/13

X=-1

 

Ahora sustituimos el valor en una ecuación, en este caso en la segunda.

X+3Y=5

-1+3Y=5

3Y=5+1

3Y=6

Y=6/3

Y=2

c)     X-Y=14

X-Y=3

Lo que hacemos es multiplicar una ecuación por -1, en este caso la segunda ecuación y aplicamos el método de suma y resta, pero como podrás notar no se puede resolver, ya que cuando aplicas el método ambas incógnitas se van durante la aplicación del mismo.

X-Y=14

-X+Y=-3

 

d)    3X+7Y=1

2X+15Y=11

Lo que hacemos es multiplicar por 2 la primera ecuación y por –3 la segunda ecuación. Obteniendo lo siguiente: 

6X+14Y=2

-6X-45Y=-33

Aplicamos el método suma y resta.

-31Y=-31

Y=1

Sustituimos el valor Y en una de las ecuaciones en este caso, la vamos a sustituir en la primera.

3X+7(1) =1

3X+7=1

3X=-6

X=-2

e)    X+5Y=11

-X+3Y=5

Lo que hacemos aplicamos directamente el método de suma y resta.

Obteniendo 8Y=16

8Y=16

Y=16/8

Y=2

Sustituimos el valor Y dentro de una de las ecuaciones, en este caso, lo haremos de la primera.

X+5Y=11

X+5(2) =11

X=11-10

X=1

f)     2X+Y=10

3X-Y=5

Lo que hacemos es directamente el método de suma y resta

2X+Y=10

3X-Y=5

5X=15

X=15/5

X=3

Sustituimos el valor encontrado en una de las ecuaciones: 

2X+Y=10

2(3) +Y=10

Y=10-6

Y=4

 

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