Secundaria. Segundo grado.

Matemáticas 2 Espacios Creativos

Editorial Santillana

Secuencia didáctica 31. Variación inversa

Respuestas del libro

Variación inversa

Analiza la situación y contesta.

Respuesta:

1) Un tren recorre 405 km...

a) ¿Qué sucede con el tiempo ...? El tiempo disminuye.


b) ¿Qué sucederá si el tren disminuye su velocidad?

Tardará más tiempo en llegar.

Expresión algebraica de variación inversa.

Respuesta:

Resuelvan en parejas.

1) Escriban en la tabla la relación que hay entre los elementos.


a) ¿Cuánto tiempo tarda ...  En este caso, sabemos que la velocidad =distancia/tiempo, en este caso sabemos los valores de la distancia que es 405 km y la velocidad que es 40 km/h. Lo que hacemos es un despeje. Tiempo=distancia/velocidad.

Tiempo=405/40

Tiempo =10.125 h

 

b) ¿Y si viaja a velocidad promedio ...

En este caso, sabemos que la velocidad =distancia/tiempo, en este caso sabemos los valores de la distancia que es 405 km y la velocidad que es 80 km/h. Lo que hacemos es un despeje. Tiempo=distancia/velocidad.

Tiempo=405/80

Tiempo =5.0625 h

c) ¿Y si viaja en una velocidad ...

En este caso, sabemos que la velocidad =distancia/tiempo, en este caso sabemos los valores de la distancia que es 405 km y la velocidad que es 20 km/h. Lo que hacemos es un despeje. Tiempo=distancia/velocidad.

Tiempo=405/20

Tiempo =20.25 h

 

d) Viajando a una velocidad de 100km/h. ...

En este caso, sabemos que la velocidad =distancia/tiempo, en este caso sabemos los valores de la distancia que es 405 km y la velocidad que es 100 km/h. Lo que hacemos es un despeje. Tiempo=distancia/velocidad.

Tiempo=405/100

Tiempo =4.05 h

 

e) ¿Qué sucede con el tiempo ... El tiempo va en aumento.

2) Escriban una expresión algebraica ...

Respuesta:

Tiempo=Distancia/Velocidad

Distancia=Velocidad x Tiempo

Trabajen en equipos

3) Un triángulo de área de 20 cm2...

Respuesta:

a) ¿Qué sucede con su altura ...? Disminuye la altura.

b) ¿Qué sucede con la altura si la base disminuye ... La altura aumenta 

 

c) ¿Qué expresión algebraicamente ...

bh/2=a


d) ¿Qué expresión algebraica expresa c...


h=2a/b

En este caso teníamos el valor del área como algo que no cambia, pero lo que sí sabemos que la base disminuye, entonces la altura aumenta y si la base aumenta, entonces la altura disminuye.

Comprueben que sus expresiones ...

Ejemplo:

Área = 20

b=4

h=2(20) /4

h=10

si aumentamos 4 cm a la base entonces tenemos: 

Área= 20

b=6

h=2(20) /8

h=40/8

h=5

Conclusión entonces si la base es menor, la altura aumenta; si la base aumenta, la altura disminuye.

 

4) Elijan una figura diferente al triángulo...

Respuesta:


Rectángulo: b*h=a

b=a/h

Para ver la variación en este caso la base está en función de la altura. Donde hacemos que el área no cambie y la altura la colocamos nosotros.

Ejemplo 1:

h=50

a=100

b=a/h

b=100/50

b=2

 

Ejemplo 2 

h=25

a=100

b=a/h

b=100/25

b=4

 

Conclusión vemos que:

La altura es mayor, la base es menor.

La altura es menor, la base es mayor.

Gráfica de proporcionalidad inversa

Realicen en parejas...

1) Retomen la situación del tren ...

Respuesta:

a) Describan el procedimiento ...

Sabemos que para poder calcular el tiempo en que tardaría en recorrer 405 km utilizaremos lo siguiente:

            Velocidad=distancia/tiempo

            Tiempo=distancia/velocidad

                        Tiempo=405/10

 

b) ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer ...

Sabemos que para poder calcular el tiempo en que tardaría en recorrer 405 km utilizaremos lo siguiente:

Velocidad=distancia/tiempo

            Tiempo=distancia/velocidad

                        Tiempo=405/10

                        Tiempo=40.5 h

c) Usen un procedimiento distinto ...

Tiempo= 405/20

Tiempo=20.25 h

ii) ¿Cuánto tardará en recorrer ...

Tiempo= 405/5

Tiempo=81 h

EXPLICACIÓN DEL TEMA: GRÁFICAS DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

2. Completen la tabla empleando 

Respuesta:

a) ¿Qué elementos consideraron al graficar la gráfica? Se consideró el tiempo y la velocidad de acuerdo a la función planteada en un principio. Tiempo= distancia/velocidad.

b) ¿Qué representa el eje x?  El tiempo en horas

c) ¿Qué representa el eje y? La velocidad en km por hora.

¿Cómo vamos?

Escribe la expresión algebraica...

Respuesta:

a) La variación de la altura de un triángulo ...


i) Expresión algebraica: b= 40/h


iii) Gráfica


iv) ¿Qué elementos colocaste en la primera fila de la tabla?  En la primera se colocó la variación de las bases en función de las alturas


v) ¿ Qué elementos colocaste en la segunda fila de la tabla? Se colocaron diversos datos de alturas.




Propiedades de la gráfica

En parejas...

Respuesta:


a) ¿A qué cuadrante …? Al segundo cuadrante.

b) ¿Qué valor toman…? Son datos positivos

c) Para generar la gráfica ...


i) ¿Qué representan …?  La velocidad

ii) ¿Qué representan los …? El tiempo

 

d) Tomando como referencia …respondan: 

i) ¿Qué representa la parte de la gráfica …?

Representa una función donde la velocidad es negativa y el tiempo también, pero la distancia sigue siendo positiva, pero como sabemos un tiempo negativo no puede ser posible y una “rapidez” negativa tampoco.

ii) ¿Por qué en la gráfica no…?

Porque en caso de que la velocidad o el tiempo sean negativos, no podría existir la distancia




Hipérbola

2) Analicen la expresión algebraica ...

Respuesta:

b) ¿Cómo se representan en la gráfica …?  Con una curva de una función hiperbólica

 

Ver explicación

Incisos: c, d, e

Respuesta:

c) ¿Pueden usar los valores del cuadrante …? NO debido a que no existe una medida ya sea de base o altura negativa; no es real.

 

d) ¿Por qué la gráfica no toca …Sabemos que la fórmula que tenemos h=2a/b si la base es cero, al dividirlo vemos que es un error matemático, pero si pasamos al otro lado b, teniendo bh=2a sabemos que, si el valor de b o h es cero, entonces no existiría un área.

 

Más información sobre hipérbola

 

e) ¿Podría existir un punto …

Sabemos que la fórmula que tenemos h=2a/b si la base es cero, al dividirlo vemos que es un error matemático, pero si pasamos al otro lado b, teniendo bh=2a sabemos que, si el valor de b o h es cero, entonces no existiría un área.

 

Más información sobre hipérbola

Propiedades de la variación

Lee las situaciones ...

Respuesta:

1) Un albañil tarda 80 días ...

a) ... tabula los valores ...


b) En el plano cartesiano ...






 c) ¿La gráfica crece o decrece? La gráfica decrece. ¿Por qué? Debido a que el trabajo se hace en menor tiempo cuando existe una cantidad mayor de albañiles trabajando.

 

d) Las franjas anaranjadas ...

i) ¿En qué intervalos ... De 0 a 2

ii) ¿Cómo deduces...?  Decrece más rápido de 0 a 2 debido a que cuando 2 personas realizan el trabajo se reduce a la mitad.

iii) ¿En qué intervalos la gráfica ...? De 9-10

iv) ¿Cómo deduces ...? Debido a que la diferencia de tiempo es de 0.89 días, muy pequeño en comparación con el resto de los datos.

 



Trabajo en parejas

1.-Modifica los datos de la actividad inicial de esta sesión ...? 

Respuesta:

2. Las siguientes gráficas representan ...

a) ¿Tiene sentido hablar de valores ...? NO

¿Por qué?  Porque estamos hablando como mínimo de una persona haciendo el trabajo.

b) ¿Qué sucede con la función ...?  El tiempo tiende a ser muy grande

c) ¿Cuánto tardarán cero albañiles ...? No se sabe 

d) ¿Por qué? Porque es como si nadie estuviera haciendo algo, realmente no tenemos alguien haciendo el trabajo y realmente no sabríamos cuando se terminaría.

e) ¿Sucede lo mismo ...?  ¿Por qué? Si, debido a que si es cero no existe la función realmente, no puede aplicar en el caso de la función vt=405 sin tiempo no hay velocidad, por tanto, no hay distancia, ahora si ponemos el ejemplo de los albañiles es el mismo caso.






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