Secundaria. Segundo grado.

Matemáticas 2 Espiral del Saber

Santillana

Secuencia didáctica 20. Sustituir, igualar, sumar o restar

Respuestas del libro

Sustituir, igualar, sumar o restar.

1.Reúnete con...

Respuesta:


a)Si, sustituir el valor de y = 16 en x + y = 24 y despejar x

 

b)Sustituir el valor de y = a 2x en x + y = 24 y despejar x

 

c)Ligera diferencia en el valor de y, pero lo demás es esencialmente lo mismo

2.Lee el problema

Respuesta:

a) x +4 = y

 

Explicación: x, siendo la cubeta más chiquita necesita 4 litro más para ser igual que y, que es la cubeta mas grande.

 

b) x + y = 10

 

Explicación, si sumas la capacidad de la cubeta x y de la cubeta y, esto es igual a 10.

 

c) x + (x + 4) = 10 ; 1

 

Explicación: sustituimos el valor de y (del inciso a) en la ecuación del inciso b.

 

d) x = 3

 

Explicación, tenemos la ecuación x + (x + 4) = 10

Quitamos paréntesis: x + x + 4 = 10

Pasamos las x de un lado y los números del otro: x + x = 10 – 4

Simplificamos: 2x = 6

Despejamos x: x = 6/2 = 3

 

e) 7

 

Explicación: Recordemos que x = 3

La ecuación del inciso a es: x + 4 = y

Sustituimos x: 3 + 4 = y

y = 7

 

f)Si, porque ambos valores son soluciones de las dos ecuaciones.

3.Reúnete...
¿Vamos bien?

I.- Usa el método…

Respuesta:

 a) x = 2, y = 3


Ver explicación
Igualar.

4.Reúnete...

Respuesta:

a)Si, porque todas representan distintas variaciones en el despeje de las ecuaciones.

 

bNo, porque son ecuaciones equivalentes (iguales) y tienes las mismas respuestas.

 

c)Si, porque todas representan distintas variaciones en el despeje de las ecuaciones.

 

e)No, porque son ecuaciones equivalentes (iguales) y tienen las mismas respuestas.

 

f)Son iguales, porque si despejas x en las de la izquierda te da las ecuaciones de la derecha.

Igualar.

4.Reúnete...

Respuesta:

g)Si

 

h)Una sola, y = 4

 

Explicación:

Tenemos la ecuación: 3y - 7 = y + 1

Pasamos las y de un lado y los números del otro: 3y – y = 1 + 7

Simplificamos: 2y = 8

Despejamos y = 8/2 = 4

 

i)x = 5

 

Explicación:

Si y = 4, entonces x = y + 1 = 4 + 1 = 5

 

j)Cuando sustituimos x y y, se observa que los valores cumplen con el sistema.

 

k)Los vares de x y y también cumplen con todos los demás sistemas de ecuaciones.

5.Sigue las...

5.Sigue las...

Respuesta:

¿Vamos bien?

Resuelve...

Respuesta:

 

a)x = 20 ; y = 30

 

Explicación:

Despejamos x de ambas ecuaciones: x = (2y)/3 ; x = (90 – y)/3

Igualamos ambas ecuaciones: (2y)/3 =(90 – y)/3

Simplificamos::

3(2y) = 3(90 – y)

6y = 270 – 3y

6y + 3y = 270

9y = 270

Despejamos y: y = 270/9 = 30

Sustituimos y en la primera ecuación: 3x – 2(30) = 0

Simplificamos:

3x – 60 = 0

3x = 60

Despejamos x: x = 60/3 = 20

 

b)x = 3 ; y = -3

 

Explicación:

Despejamos x de ambas ecuaciones: x = (15 + y)/4 ; x = (9 – y)/4

Igualamos ambas ecuaciones: (15 + y)/4 = (9 – y)/4

Simplificamos::

4(15 + y) = 4(9 – y)

60 + 4y = 36 – 4y

4y + 4y = 36 – 60

8y = -24

Despejamos y: y = -24/8 = -3

Sustituimos y en la primera ecuación: 4x – (-3) = 15

Simplificamos:

4x + 3 =15

4x = 15 – 3

4x = 12

Despejamos x: x = 12/4 = 3

Sumar o restar.

6.Plantea el sistema...

Respuesta:

2x + y = 15

x – y = 3

 

Explicación: Un triangulo isósceles tiene dos lados iguales (serán x) y un lado diferentes (será y), su perímetro (la suma de sus lados), es de 15, por lo tanto x + x + y = 15, si lo simplificamos queda 2x + y = 15

Dice que la diferencia de uno de sus lados iguales (ósea x) al lado desigual (ósea y) es de 3, por lo tanto x – y = 3

 

a)3x = 18

 

Explicación: Sumamos los términos semejantes de ambas ecuaciones.

En el caso de las x: 2x + x = 3x

En el caso de las y: y + (-y) = y – y = 0

En el caso de los números: 15 + 3 = 18

Ahora unimos términos (x, y, números): 3x + 0 = 18

Simplificamos: 3x = 18

Sumar o restar.

6.Plantea el sistema...

Respuesta:

b)3, 0

 

c)x = 6 ; 2(6) + y = 15

 

Explicación: despejamos x de el inciso a: 3x = 18

x = 18/3 = 6, ese es el valor de x, ahora lo sustituimos en 2x + y = 15: 2(6) + y = 15

 

d)y = 3

 

Explicación: tomamos la ecuación con la x sustituida: 2(6) + y = 15

Simplificamos: 12 + y = 15

Despejamos y: y = 15 – 12 = 3

 

e)Si son soluciones

 

Expicación: con x = 6 ; y = 3

Sutituimos en la primera y segunda ecuación:

2(6) + (3) = 15

12 + 3 = 15

15 = 15

 

(6) – (3) = 3

6 – 3 = 3

3 = 3

 

f)6 cm, 6 cm, 3 cm

7.Considera el sistema...

Respuesta:

 

a) 28x + 21y = 70 ; 9x + 21y = 45

 

Explicación:

Multiplicamos la primera ecuacion por 7:

7(4x + 3y = 10)

28x + 21y = 70

Multiplicamos la segunda ecuación por 3:

3(3x + 7y = 45)

9x + 21y = 45

 

b)19x = 25

 

Explicación: Restamos las ecuaciones

Restamos los términos de x: 28x – 9x = 19x

Restamos los términos de y: 21y – 21y = 0

Restamos los números: 70 – 45 = 25

Unímos los términos (x, y, números): 19x = 25

 

c)x = 25/19

 

d)4(25/19) + 3y = 10

 

e)y = 90/57

 

Explicación: tenemos: 4(25/19) + 3y = 10

Simpificamos:

(100/19) + 3y = 10

3y = 10 – (100/19)

3y = (90/19)

Despejamos y: y = (90/19)/3 = 90/57

 

f)Si so soluciones

 

Explicación:

Sustituimos el valor de x y y en la primera ecuación

4(25/19) + 3(90/57) = 10

Simplificamos:

(100/19) + (270/57) = 10

(5700 + 5130)/1083 = 10

10830/1083 = 10

10 = 10

8.- Haz lo que se pide…

8.- Haz lo que se pide…

Respuesta:

a) 6x + 8y = -20

   6x + 15y = 15

 

b) 6

 

c) -7y = -35

 

Explicación:

Restamos (6x + 8y = -20) – (6x + 15y = 15)

Entonces quedaría: 6x + 8y – 6x – 15y = -20 – 15

Simplificamos: 0x – 7y = -35

Resultado: -7y = -35

 

d) 1; 0; -7

 

e) y = 5

 

Explicación:

Resolvemos -7y = -35

y = -35/(-7)

y = 5

 

f) 3x + 20 = -10; -10

 

Explicación:

Sustituimos y = 5 en la primera ecuacion 3x + 4y = -10

3x + 4(5) = -10

3x + 20 = -10

Despejamos x

3x = -10 – 20

3x = -30

x = -30/3

x = -10

 

g) Si son soluciones

 

Explicación:

Para verificar que ambas son soluciones sustituimos x = -10, y = 5 en ambas ecuaciones, aunque como ya lo hicimos en la primera, lo haremos solo en la segunda ecuación: 2x + 5y = 5

Sustitución: 2(-10) + 5(5) = 15

-20 + 25 = 5

5 = 5

Si son soluciones

¿Qué aprendí?

1.Resuelve los sistemas...

Respuesta:

 

a) x= -8, y = -6

 

Explicación:

Usando el método de sustitución

Despejamos x de la primera ecuación 5x – 6y = - 4

5x = -4 + 6y

x = (-4 + 6y)/5

Ahora sustituimos el valor de x = (-4 + 6y)/5 en la segunda ecuación -3x + 4y = 0

-3(-4 + 6y)/5 + 4y = 0

Resolvemos

(12 – 18y)/5 + 4y = 0

12/5 – 18y/5 + 4y = 0

2y/5 = - 12/5

2y = (-12/5)5

2y = -12

y = -12/2

y = -6

Ahora sustituimos y = -6 en la ecuación con el valor de x = (-4 + 6y)/5

x = (-4 +6(-6))/5

x = (-4 – 36)/5

x = (-40)/5

x = -8

 

b) x = 25, y = 10

 

Explicación:

Usando el método de igualación

Despejamos x de la primera ecuación 4x – 5y = 0

4x = 5y

x = 5y/4

Despejamos x de la segunda ecuación 4x + 5y = 200

4x = 200 – 5y

x = (200 – 5y)/4

Ahora igualamos ambas x

5y/4 = (200 – 5y)/4

Resolvemos

5y = ((200 – 5y)/4)4

5y = 200 – 5y

5y + 5y = 200

10y = 200

y = 200/10

y =20

Ahora que tenemos y, ya sustituimos en cualquier ecuación de x, en este caso tomaré la primera x = 5y/4

x = 5(20)/4

x = 100/4

x = 25

 

c) x = 2, y = -3

 

Explicación:

Usando el método de suma y resta

Multiplicaremos la primera ecuación 6x – 5y = 27 por 1 : 6x – 5y = 27

Ahora multiplicaremos la segunda ecuación x + 2y = -4 por 6 : 6x + 12y = -24

Las restamos : (6x – 5y = 27) – (6x + 12y = -24)

Quedaría : 6x – 5y – 6x – 12y = 27 +24

Resolvemos

0x -17y = 51

-17y = 51

y = 51/(-17)

y = -3

Ahora sustituimos y = -3 en la primera ecuación 6x – 5y = 27

6x – 5(-3) = 27

6x +15 = 27

6x = 27 -15

6x = 12

x = 12/6

x = 2

¿Qué aprendí?

2.En la secuencia 18...

Respuesta:

c = 7, p = 5

 


Ver explicación

3.Plantea un sistema...

Respuesta:

a) M = P/4 ; M + 7 = (P + 7)/3


M = 14, P = 56


Explicación:

Ecuación 1: M = P/4

Ecuación 2: M + 7 = (P + 7)/3

Solución utilizando la suma y resta

Restamos las ecuaciones (M = P / 4) – (M + 7 = (P + 7)/3))

M – (M + 7) = P/4 – ((P + 7)/3)

M – M – 7 = P/4 –(P + 7)/3

-7 = P/4 –(P + 7)/3

(P + 7)/3 = P/4 + 7

(P + 7) = (P/4 + 7)3

P + 7 = 3P/4 + 21

P – 3P/4 = 21 – 7

P/4 = 14

P = (14)4

P = 56

Sustituimos P = 56 en la primera ecuación M = P/4

M = (56)/4

M = 14


b) x = 5, y = 9


Explicación:

Para calcular las ecuaciones hay que recordar que el perímetro de un triangulo es igual a a suma de todos sus lados.

Ecuación 1 (triangulo azul, el de la izquierda): x + 2 + x + y = 21

La ordenamos y simplificamos: x + x + y = 21 – 2

2x + y = 19

Ecuación 2 (triangulo verde, el de la derecha): y – x + y + 2x = 23

Ordenamos y simplificamos: 2x – x + y + y = 23

x + 2y = 23

Calculo de solución por método de suma y resta

Multiplicaos la ecuación 2x + y = 19 por 1 : 2x + y = 19

Multiplicamos la ecuación x + 2y = 23 por 2 : 2(x + 2y = 23) : 2x + 4y = 46

Ahora las restamos (2x + y = 19) – (2x + 4y = 46)

2x + y – 2x – 4y = 19 – 46

2x – 2x + y – 4y = -27

-3y = -27

y = -27/-3

y = 9

Sustituimos y = 9 en la primera ecuación 2x + y = 19

2x + 9 = 19

2x = 19 – 9

2x = 10

x = 10/2

x = 5


c) x = 90 ; y = 75


Explicación:

X es el número de boletos que se vendieron normales, Y es el numero de boletos que se vendieron a estudiantes.

En total se vendieron 165 boletos, por lo tanto

x + y = 165

Los boletos normales costaron $40 y los de estudiantes $25, en total se recaudó $5250, entonces

40x + 25y = 5250

Ya que tenemos nuestras dos ecuaciones, repetimos el proceso anteriormente explicado.


d) x = 50 ; y = 100


Explicación:

X es el número de tubos que miden 1.8, y son los tubos que miden 2.7, si se tienen 150 tubos en total, entonces

x + y = 150

La tubería mide 360, por lo tanto

1.8x + 2.7y = 360

Ya que tenemos nuestras dos ecuaciones, repetimos el proceso anteriormente explicado.

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