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LA RESPUESTA:
1. Trabajen en pareja. Calculen las potencias que se piden y después contesten las preguntas sin hacer las operaciones.
4² =
4³ =
4⁴ =
4⁵ =
4⁶ =
a) ¿En qué cifra termina la séptima potencia de 4?
b) ¿En qué cifra termina la vigésima potencia de 4?
7² =
7³ =
7⁴ =
7⁵ =
7⁶ =
c) Sin hacer el cálculo, ¿cuál es la última cifra de 7?
d) ¿En qué cifra terminará la décima potencia de 7?
42 = 16
43 = 64
44 = 256
45 = 1 024
46 = 4 096
a) La séptima potencia de 4 termina en 4.
b) La vigésima potencia de 4 termina en 6
72 = 49
73 = 343
74 = 2401
75 = 16807
76 = 117649
c) La última cifra de 77 es 3
d) La décima potencia de 7 terminará en 9
Las bases dadas son 4 y 7.
Se buscan las potencias de 4 y 7 a diferentes exponentes.
a) Determinar en qué cifra termina la séptima potencia de 4.
b) Determinar en qué cifra termina la vigésima potencia de 4.
c) Determinar la última cifra de la séptima potencia de 7 sin hacer el cálculo.
d) Determinar en qué cifra terminará la décima potencia de 7.
1. Calculamos las primeras potencias de 4 para identificar el ciclo de las últimas cifras.
Para la base 4, calculemos las potencias del 2 al 6:
42 = 16
43 = 64
44 = 256
45 = 1 024
46 = 4 096
2. Revisamos el patrón.
Observamos que la última cifra de las potencias de 4 sigue un patrón: siempre termina en 4 o 6, alternándose cada vez que aumentamos el exponente por 1. Entonces:
a) La última cifra de la séptima potencia de 4 será 4, siguiendo el patrón, ya que la sexta potencia terminó en 6.
b) La última cifra de la vigésima potencia de 4 será 6, porque el patrón se repite cada dos potencias, así que en las potencias pares (como 20) terminará en 6.
3. Calculamos las primeras potencias de 7 para identificar el ciclo de las últimas cifras.
Para la base 7, las potencias son:
72 = 49
73 = 343
74 = 2401
75 = 16807
76 = 117649
La última cifra sigue un ciclo: 9, 3, 1, 7. Entonces:
c) La tercera potencia de 7 termina en 3.
d) La décima potencia de 7 terminará en 9.
Las últimas cifras de las potencias de cualquier número siguen un ciclo que se repite. Por ejemplo, las potencias de 4 tienen un ciclo de 2 en sus últimas cifras: 4, 6. Por otro lado, las potencias de 7 tienen un ciclo de 4 en sus últimas cifras: 7, 9, 3, 1.
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2. Expliquen qué hicieron para responder las preguntas anteriores y concluyan: ¿las potencias de una misma base tienden a generar un patrón? Argumentan su respuesta.
Para responder las preguntas, primero hicimos las multiplicaciones de las potencias de 4 y 7 hasta el exponente 6. Nos fijamos en la última cifra de cada resultado. Con 4, las últimas cifras iban alternando entre 4 y 6. Con 7, las últimas cifras seguían un patrón que se repetía cada cuatro veces: 9, 3, 1, 7.
Entonces, para las otras potencias que no calculamos, usamos el patrón que encontramos. Como el patrón se repite, pudimos decir qué cifra iba a ser la última sin tener que multiplicar todo.
¿Las potencias de una misma base tienden a generar un patrón?
Las potencias de una misma base sí hacen un patrón en las últimas cifras. Es como si siguieran una regla que se repite. Esto nos ayudó a predecir las cifras sin hacer cuentas grandes.
