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LA RESPUESTA:
3. Se tiene una tarjeta rectangular que mide 8 cm de largo y 6 cm de ancho. Si esta tarjeta se usa como cara lateral de un cilindro puede usarse de dos maneras.
a) ¿Con cuál se obtiene un cilindro de mayor volumen?
a) Con la forma "A" se obtiene el cilindro de mayor volumen
1.- Calculamos el radio y la altura para cada forma de la lata usando las dimensiones dadas.
El radio se puede encontrar a partir de la medida de la circunferencia (C) con la fórmula
Entonces, para la forma A tenemos una altura de 6 cm y:
Y para la forma B, una altura de 8 cm y:
2.- Aplicamos la fórmula del volumen de un cilindro para cada caso.
La fórmula del volumen del cilindro es
Entonces, para la forma A tenemos:
Y para la forma B:
3.- Comparamos los volúmenes resultantes para determinar cuál forma produce el mayor volumen.
Al resolver las operaciones tenemos los siguientes resultados:
Por lo tanto, la forma A genera un volumen mayor, ya que:
30.56 cm3 > 22.92 cm3
4. Un fabricante desea hacer latas cilíndricas con capacidad de un litro.
a) Anoten tres propuestas de medidas que podría tener la lata:
b) ¿Cuál le conviene construir si quiere usar la menor cantidad de material?
a) Aquí tienes unas propuestas de ejemplo a partir de las alturas.
b) Para estas propuestas le conviene construir la propuesta número 1
1.- Elegimos tres alturas diferentes para el cilindro.
Por ejemplo, aquí tomamos las alturas 5, 10 y 15 centímetros.
2.- Calculamos los radios necesarios para dichas alturas.
Recordemos que un cm3 es igual a un mililitro, por lo tanto, 1 000 cm3 es igual a 1 000 ml o 1 litro. Entonces, tenemos que encontrar valores de radio de base que den como resultado 1 000 cm3 de volumen.
Propuesta 1, donde la altura de la lata es de 5:
Primero dividimos 1 000 entre la propuesta que es 5:
1 000 ÷ 5 = 200
Ahora dividimos este valor entre 3.14:
200 ÷ 3.14 = 63.69
Obtenemos raíz cuadrada de 63.69 para obtener el valor del radio de la base:
√63.69 = 7.98 cm
Propuesta 2, donde la altura de la lata es de 10:
Primero dividimos 1 000 entre la propuesta que es 10:
1 000 ÷ 10 = 100
Ahora dividimos este valor entre 3.14:
100 ÷ 3.14 = 31.85
Obtenemos raíz cuadrada de 31.85 para obtener el valor del radio de la base:
√31.85 = 5.64 cm
Propuesta 3, donde la altura de la lata es de 15:
Primero dividimos 1 000 entre la propuesta que es 15:
1 000 ÷ 15 = 66.66
Ahora dividimos este valor entre 3.14:
66.66 ÷ 3.14 = 21.23
Obtenemos raíz cuadrada de 21.23 para obtener el valor del radio de la base:
√21.23 = 4.61 cm
3.- Calculamos la superficie de material necesaria para cada propuesta. Para hacerlo, usamos la siguiente fórmula del área lateral del cilindro:
Y, tomando a π como 3.14, tenemos los siguientes resultados:
Propuesta 1: 250.6 cm2 de material
Propuesta 2: 354.4 cm2 de material
Propuesta 3: 434.05 cm2 de material
Por lo tanto, la propuesta 1 necesita menos material para construir las latas.
5. En grupo, comenten sus conclusiones de las actividades anteriores. Luego, completen el siguiente enunciado:
Si un cilindro mantiene constante su altura pero el radio varía, _________________________________.
a) ¿El volumen del cilindro es proporcional a la medida del radio?
b) Argumenten su respuesta.
Si un cilindro mantiene constante su altura pero el radio varía, el volumen del cilindro varía proporcionalmente al cuadrado del radio.
a) Sí, el volumen del cilindro es proporcional a la medida del radio al cuadrado.
b) El volumen de un cilindro se calcula mediante la fórmula V = πr2h, donde r es el radio y h es la altura. Si la altura h se mantiene constante y solo el radio r cambia, entonces el volumen del cilindro depende únicamente del cuadrado del radio. Esto significa que si duplicamos el radio, el volumen se cuadruplica; si triplicamos el radio, el volumen aumenta nueve veces, y así sucesivamente.
