Secundaria. Tercer grado.

Matemáticas 3

Santillana Secundaria

Lección 21. Sucesiones cuadráticas

Respuestas del libro

Sucesión lineal y sucesión cuadrática

a.

Respuesta:

¿Las expresiones representan la misma sucesión? Justifica tu respuesta.

No, porque una regla representa una función lineal y la otra una cuadrática.

b.

Respuesta:

  • ¿Qué sucesión o sucesiones corresponden a la regla 2n?

La 2 y 4.

  • ¿Cuáles corresponden a la regla n2? ¿Por qué?

La sucesión 1 y 3.

c.

Respuesta:

  • ¿Qué sucesión corresponde a la regla 2n? La 4.
  • ¿Cuál a la regla n2? La 1.
  • ¿Cómo varía el valor de los términos en cada regla? En la primera aritméticamente y en la segunda geométricamente.
  • Uno de los términos de una de las sucesiones es 529, ¿a qué sucesión pertenece? ¿A qué número de término corresponde? A la 1. Al término 23.
Expresión general cuadrática

a.

Respuesta:

Completen la tabla que relaciona el número de fi gura con la cantidad de losetas.

Tabla 1

  • Describan cómo obtuvieron el número de losetas para las figuras 6, 7 y 12. Multiplicando el número del término por 2, luego le restamos 1 y el resultado se eleva al cuadrado.
  • ¿Qué patrón observan entre la diferencia de figuras consecutivas? Son múltiplos de 8; (8, 16, 24, 32,...).

b.

Respuesta:

Completen la tabla para los primeros diez términos de la sucesión n2.

Tabla 2

  • ¿Qué valores, y de qué términos, se relacionan con la sucesión de las losetas? 1, 9, 25, 49, 81, se relacionan con los términos 1 con 1, 2 con 3, 3 con 5, 4 con 7, 5 con 9...
  • ¿Qué característica tienen estos términos? Son el cuadrado de los números nones consecutivos.
  • ¿Cuál es la regla que genera la sucesión de los números pares, es decir, 2, 4, 6, 8,...? 2n.
Expresión general cuadrática

c.

Respuesta:

En la siguiente tabla, anoten los primeros diez términos de la sucesión de números

impares y determinen la regla.

Tabla.

  • ¿Cuál es la relación entre los valores de las tablas 2 y 3 con los valores de la tabla 1? Los valores de la tabla 3, elevados al cuadrado representan los valores de la tabla 1.
  • Si la regla de la sucesión de la tabla 3 se eleva al cuadrado, ¿cuál es el valor de los primeros siete términos? 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225,...
  • Con base en lo anterior, ¿cuál es la regla de la sucesión de losetas? (2n – 1)2.

d.

Respuesta:

Analicen la siguiente información y respondan.

  • De las reglas obtenidas hasta el momento, ¿cuáles son cuadráticas? Las correspondientes a la tabla 1 y 2.

3 a.

Respuesta:

La tabla muestra la relación que existe entre el número de figura y el ancho o alto de

cada una. Supongan que la sucesión es infinita y completen la tabla 4.

Tabla 4.

  • ¿La regla que genera dicha sucesión es cuadrática? Justifiquen su respuesta. No, porque no tienen términos elevados al cuadrado.
Expresión general cuadrática

3 b.

Respuesta:

La tabla 5, de la siguiente página, relaciona el número de figura y la cantidad de losetas

de color morado. Complétenla y precisen la regla que genera dicha sucesión.

Tabla 5.

  • ¿La regla que genera dicha sucesión es cuadrática? ¿Por qué? Sí. Porque el término está elevado al cuadrado.

3 c.

Respuesta:

La tabla 6 relaciona el número de figura con la cantidad de losetas color de rosa. Complétenla

e indiquen la regla que genera esta sucesión.

Tabla 6.

  • ¿La regla de esta sucesión es cuadrática? Sí.
  • A partir de las reglas obtenidas, escriban una expresión algebraica que represente la regla de la sucesión de losetas. n2 + (n – 1)2.

3 d.

Respuesta:

Verifiquen la regla algebraica de la sucesión, completando la tabla 7.

Tabla 7.

  • ¿De qué tipo es la regla que genera la sucesión? Cuadrática.
  • De la regla que modela la sucesión del total de losetas, ¿cuántos términos algebraicos tiene la expresión? Tres.

3 e.

Respuesta:

Los datos de la tabla 8 tienen relación con las fi guras de las losetas, pero falta determinar

qué dato debe ir en la primera fi la. Analicen las sucesiones anteriores para saber cuál es.


  • ¿Qué información se indica en la primera fila? El número de la figura.
  • ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a la regla que modela la sucesión de la tabla 8? Subráyala. (n2+1)/2.

Más reglas de sucesiones cuadráticas

a.

Respuesta:

Analicen la sucesión de círculos y respondan.


  • ¿Cuál es la regla que genera la sucesión de círculos? 3n2.
  • ¿Cuál es el número de círculos que hay a lo alto en cada figura? 1, 4, 9, 16,...
  • ¿Cuántos círculos tendrá a lo alto la figura 5? 25.
  • ¿Qué relación hay entre el número de término y los círculos a lo alto? El número de círculos a lo alto es igual al número de término elevado al cuadrado.
  • ¿Cuál es la expresión algebraica que muestra la relación anterior? n2.
  • ¿Cuántos círculos hay a lo ancho en cada figura? 3.
  • Si relacionan su respuesta anterior con una expresión algebraica, ¿cuál es la
  • expresión algebraica que se obtiene? 3n2.
  • ¿Es esta la regla de la sucesión de círculos que se muestra? Sí.


b.

Respuesta:

La siguiente tabla se relaciona con la sucesión de figuras que se muestra del lado izquierdo; analícenla y respondan.


  • ¿Cuál es la regla que genera la sucesión de cuadrados? 2n2 + 1.
  • ¿Cuál es el número de cuadrados que hay a lo alto en cada figura? 1, 4, 9, 16,...
  • ¿Cuántos cuadrados tendrá a lo alto la figura 5? 25.
  • ¿Qué relación hay entre el número de término y los cuadrados a lo alto? El número de cuadrados a lo alto es igual al número de término elevado al cuadrado.
  • ¿Cuál es la expresión algebraica que muestra la relación anterior? n2.
  • ¿Cuántos cuadrados verdes hay a lo ancho en cada figura? 2n2.
  • Si relacionan su respuesta anterior con la expresión algebraica que obtuvieron, ¿cuál es la nueva expresión? Sumar 1, que representa el cuadrado morado.
  • ¿Qué hay que agregar a la expresión anterior para obtener la regla de la sucesión de cuadrados? 2n2 + 1.
Más reglas de sucesiones cuadráticas

c.

Respuesta:

  • ¿Cuál es el número de triángulos en cada figura? 2, 6, 12, 20, 30,...
  • ¿Cuál es la relación entre el número de triángulos rojos de cada figura? Se eleva al cuadrado el número del término.
  • Lo anterior se puede escribir con una expresión algebraica, ¿cuál? n2.
  • ¿Cuál es la relación entre el número de triángulos verdes de cada figura? Es igual al número del término.
  • Plantea la expresión algebraica que modela la sucesión de triángulos. n.
  • Con base en las últimas dos expresiones algebraicas, determinen la regla o expresión algebraica para la sucesión de triángulos. n2 + n.
  • ¿Esta es una sucesión cuadrática? ¿Por qué? Sí. Porque es de la forma an2 + bn.

5.

Respuesta:

Analicen la siguiente lista de sucesiones y respondan en su cuaderno.


a. ¿Cuál de las sucesiones se obtiene a partir de la regla algebraica n2 + n+ 3? 5, 9, 15, 23, 33, 45,...

b. Obtengan la regla algebraica que modela las otras dos sucesiones. n2 + 2n y n2 + 4.

Reto

1.

Respuesta:

a. Elaboren una tabla. ¿Cuál es la regla algebraica que modela la sucesión? n2/3 o 1/3 n2.

b. ¿Cuántos términos algebraicos tiene la regla que modela la sucesión? Uno.

c. ¿Cuál es el coeficiente que multiplica a la literal cuadrática? 1/3.

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