Secundaria. Tercer grado.

Matemáticas 3

Santillana Secundaria

Lección 23. Pendiente de una recta

Respuestas del libro

Relaciones lineales del tipo y = kx y la pendiente

1 a.

Respuesta:

  • ¿Cómo es la inclinación de ambas escaleras?

Propuesta A. El ángulo de inclinación es de 45°.

Propuesta B. El ángulo de inclinación es de 58°.

  • ¿Qué diferencias hay entre ambas propuestas? La escalera de la propuesta B es más inclinada que la de la propuesta A.
  • ¿Cómo puede determinarse la medida de la inclinación de las escaleras? Por la razón entre la altura de la escalera y la distancia horizontal de donde empieza la escalera a la parte más alta.


2 a.

Respuesta:

  • Retomen sus conclusiones iniciales y determinen cómo pueden obtener la medida de la inclinación de la escalera con los datos de Braulio. Por la razón de la alzada entre la huella.
Relaciones lineales del tipo y = kx y la pendiente

2 a.

Respuesta:

  • ¿La medida de los ángulos que se forman en los trazos realizados en las propuestas de Braulio tienen relación con la inclinación de la escalera? Sí.
  • Consideren las medidas menores tanto de la huella como de la alzada y calculen la razón entre estas. 0.4
  • Hagan lo mismo con las medidas mayores de la huella y de la alzada. 0.4

2 b.

Respuesta:

  • ¿Cuál es la inclinación de cada escalera? 0.4
  • En cada caso, ¿todos los escalones tienen la misma inclinación? ¿Por qué? Sí, porque las medidas son proporcionales.
  • ¿Qué escalera tendrá mayor inclinación? Las dos tienen la misma inclinación.

2 c.

Respuesta:

  • ¿Están de acuerdo con lo que afirma Braulio?
Relaciones lineales del tipo y = kx y la pendiente

d.

Respuesta:

Escriban sus resultados en la columna “Medida de la pendiente”.



  • ¿Qué medidas conviene usar para construir las escaleras A y B? Justifiquen su respuesta. Cualquiera, todas tienen la misma inclinación, depende de las necesidades.
  • ¿Qué relación identifican entre esta información y la medida del ángulo que se forma al intersecarse las rectas trazadas en las propuestas A y B de la actividad inicial? Es la misma.

Rampas de acceso

Respuesta:

a. Braulio diseñó dos rampas de acceso. Analicen las propuestas que trazó y calculen la pendiente en ambos casos.


Propuesta C

Pendiente: 0.25


Propuesta D

Pendiente: 0.5

Rampas de acceso

a.

Respuesta:

  • ¿Qué diferencias o semejanzas se pueden establecer entre las gráficas de las propuestas C y D? Que la pendiente es mayor en la propuesta D.
  • En ambas propuestas establezcan la medida del ángulo de la pendiente.

Propuesta C: 14°

Propuesta D: 6.57º

b.

Respuesta:

Describan las características de las pendientes. Completen la tabla.


c.

Respuesta:

En la propuesta C, consideren los ABI, CDB, EFD formados por la recta y el eje de

las abscisas. Midan los catetos opuestos y adyacentes del ángulo de la pendiente en

cada triángulo. Después registren sus mediciones en la tabla.



  • ¿Qué relación existe entre la pendiente de la recta y el cociente de los catetos? Es el mismo cociente, 0.25.

d.

Respuesta:

  • En la propuesta D, determinen el valor de la tangente del ángulo , que se forma en ABI, CDB, EFD. 0.5
Relaciones lineales del tipo y = kx + b y pendiente

a.

Respuesta:

  • ¿Qué características tienen este tipo de rectas? ¿Por qué? Son rectas que no pasan por el origen.

b.

Respuesta:

Traza el segmento AC. En relación con el ángulo , determina el cateto opuesto y el cateto adyacente del ABC.


• Mide los catetos y obtén la pendiente. La pendiente es igual a 5/2.5 = 2.

c.

Respuesta:

Traza una recta paralela al eje de las x, de manera que pase por el punto D. Construye el triángulo rectángulo ADE.



  • Mide los catetos y obtén la pendiente. Es 2/1 = 2.

d.

Respuesta:

  • Analiza el ABC y el ADE. Observa que en el ABC uno de sus catetos coincide con el eje de las x, pero que en ADE no sucede lo mismo. Compara la medida de sus pendientes y, con base en tus respuestas, plantea una conclusión de lo realizado. La pendiente es la misma porque los triángulos son semejantes.

e.

Respuesta:

Traza el triángulo rectángulo ABD.


  • Asigna las medidas necesarias a los catetos y obtén la medida de la pendiente; se sabe que el ángulo BAD mide 76°. 4/1 = 4
  • Prolonga la recta asociada a la función y = 4x + 1, de manera que cruce el eje de las x. Traza el triángulo rectángulo correspondiente y obtén la medida de la pendiente. 5/1.25 = 4
  • Contrasta tu generalización anterior con los resultados obtenidos. ¿Qué puedes concluir? Que la pendiente es la misma porque son triángulos semejantes.
Relaciones lineales del tipo y = b y la pendiente

a.

Respuesta:

En la imagen se muestran dos rectas asociadas a una función del tipo y = b.

  • ¿Qué características tiene en general este tipo de rectas? Expliquen. Son paralelas al eje x.
  • ¿Cuál es la medida de la pendiente de este tipo de rectas? 0.

b.

Respuesta:

En equipo, lean la información y hagan lo que se indica.


  • Tracen en su cuaderno las rectas que representan las escaleras de la tabla de la página 190.

  • Utilicen un transportador y determinen la medida del ángulo de inclinación que se forma entre la recta y el eje de las abscisas. Registren sus resultados en la tabla de la página 190, en la columna “Medida del ángulo” con respecto del eje x. Todas las escaleras son proporcionales a la que se muestra 21.8º.
Tangente

a.

Respuesta:

  • Obtengan el valor de la tangente del ángulo que se crea en cada uno de los casos. Si lo consideran necesario, tracen los triángulos en su cuaderno.

b.

Respuesta:

La figura muestra dos rectas asociadas a funciones lineales, con los triángulos BCD y EFG.


  • ¿Se trata de rectas de una misma familia? Expliquen. Sí, en ambas funciones b es igual a 2.
  • Consideren los valores de los ángulos  y  de BCD y EFG y obtengan el valor de la tangente del ángulo que se forma en cada uno de los casos. Determinen en qué caso la medida de la tangente es mayor y qué significado pueden asociarle a ello. En la función y = 2x + 2 la tangente es mayor, lo cual significa que tiene mayor pendiente.
  • Tracen una recta asociada a una función lineal cuya medida de la tangente del ángulo que se forma al trazar un triángulo rectángulo sea menor que los obtenidos antes. Expliquen lo realizado. Pendiente 2/5= 0.4, ángulo 21.8º



Tangente

6 b.

Respuesta:

  • ¿Qué relación existe entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente de los catetos? La pendiente es igual al cociente de los catetos y representa la tangente del ángulo correspondiente.

7 a.

Respuesta:

Determinen la pendiente de las rectas asociadas a funciones lineales y argumenten lo

realizado.


  • Recta roja. Razón 0, ángulo 0º
  • Recta azul. Razón 2; ángulo 63.4º
  • Recta morada. Razón 3; ángulo 71.5º

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