Secundaria. Tercer grado.

Matemáticas 3

Santillana Secundaria

Lección 24. Ángulos agudos de un triángulo rectángulo

Respuestas del libro

Ángulos y triángulos rectángulos

a.

Respuesta:

Tracen un triángulo rectángulo.


• Nombren y midan los ángulos del triángulo rectángulo.

• Determinen cuál de los lados del triángulo rectángulo es la hipotenusa, el cateto opuesto y el cateto adyacente, de los ángulos agudos, respectivamente. Opuesto a α, BC, adyacente, AB. Opuesto a β AB y adyacente BC.

b.

Respuesta:

  • ¿Están de acuerdo con lo que afirma Héctor? Sí.
Hipotenusa y catetos

2.

Respuesta:

a. Consideren la afirmación de Héctor y, con base en ella, establezcan en cada triángulo la hipotenusa (H), el cateto opuesto (CO) y el cateto adyacente (CA) al ángulo marcado.


  • Determinen el valor de los ángulos faltantes en cada caso.


  • Expliquen el procedimiento que siguieron para obtener el valor de los ángulos. A 180º se le resta 90º y la medida del ángulo que se muestra en cada figura.

3.

Respuesta:

a. Observen la imagen de la derecha y midan los ángulos que se indican para responder:


  • ¿Cuánto miden los ángulos JDI, HDG, FDE? 29°
  • ¿Qué relación hay entre las medidas de los tres ángulos? Es la misma.
  • ¿Cuánto miden los ángulos DJI, DHG y DFE? 61°
  • Si se prolonga el segmento DF y DE, de manera que se forme un cuarto triángulo, ¿qué sucede con la medida del ángulo que se forma en D? Sigue teniendo la misma medida.
  • ¿Qué tipo de ángulo se crea? Agudo.


b. Consideren que cada unidad cuadrada mide 1. ¿Cuál es la razón de semejanza entre los triángulos rectángulos DEF y DHG? 7/5= 1.4 o 5/7 ¿Y con respecto del triángulo DIJ? 7/3 = 2 1/3 o 3/7

  • ¿Qué relación pueden establecer entre una familia de triángulos semejantes y la medida, en este caso, de los ángulos DJI, DHG y DFE? El ángulo es el mismo para los tres triángulos, por tanto, mide lo mismo.
Hipotenusa y catetos

c.

Respuesta:

Analicen la siguiente familia de triángulos. Se sabe que al menos tres de ellos son triángulos congruentes.


  • ¿Cuáles son los triángulos rectángulos que cumplen con la condición dada? Los triángulos ABC, A’B’C’ y A’1B’1C’1,

e.

Respuesta:

Tracen triángulos rectángulos, cuyos ángulos agudos sean de igual medida.



Muestren sus construcciones a sus compañeros y expliquen si estos son semejantes o congruentes. Argumenten su respuesta. Son semejantes. Los lados son proporcionales.
Hipotenusa y catetos

a.

Respuesta:

Consideren que AB es la altura del triángulo isósceles ACD.


  • Analicen el ABD y determinen la medida del cateto opuesto (CO) del ángulo α. 5
  • ¿Cuánto mide el cateto adyacente (CA) al ángulo α en el ABD? 8
  • ¿Cuál es la medida de la hipotenusa del ABD? 9.4
  • Obtengan el cociente de la medida del cateto opuesto al ángulo α sobre la medida de
  • la hipotenusa (H). 5/9.4 = 0.53
  • Obtengan el cociente de la medida del cateto adyacente al ángulo α sobre la medida
  • de la hipotenusa. 8/9.4 = 0.85

b.

Respuesta:

Tracen una recta R1 paralela al segmento DC, que pase por el punto medio de AB (E). Marquen los puntos de intersección entre R1 y los segmentos AC y AD. Llámenlos F y G.


• Identifiquen el AFE y respondan.

  • ¿Cuánto mide el cateto opuesto al ángulo α? 2.5
  • ¿Cuánto mide el cateto adyacente al ángulo α? 4
  • ¿Cuánto mide la hipotenusa del AFE? 4.7
  • Obtengan los siguientes cocientes:

CO/H = 0.53

CA/H = 0.85

  • Comparen los cocientes que obtuvieron en los triángulos ADB y AFE y expliquen qué relación encuentran entre estos. Los cocientes son los mismos porque los triángulos son semejantes.
Hipotenusa y catetos

b.

Respuesta:

  • ¿Qué sucede con los cocientes de CO/H y CA/H en los ABC y AEG? Son los mismos de los triángulos ABD y AFE.

c.

Respuesta:

Para verificar o refutar el enunciado anterior, con base en los triángulos propuestos, completen los datos de la tabla.


Hipotenusa y catetos

b.

Respuesta:

Obtén el seno y el coseno de los ángulos y compáralos con los cocientes obtenidos en la tabla del inciso c del punto 4.


Seno: β = 0.6 γ = 0.6 δ = 0.6

Coseno: β = 0.8 γ = 0.8 δ = 0.8


  • ¿Los resultados coinciden con la medida de los ángulos que hay en el inciso c de la actividad 4? SÍ.
  • ¿Los cocientes que resultan de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa son constantes? ¿Por qué? Sí, siempre que la medida de los ángulos sea la misma.

6 a.

Respuesta:

a. Analicen si la afirmación es verdadera:


  • Con base en el triángulo de la derecha argumenten la afirmación.

ε +γ = 90º

tangente de ε = 4/6 = 0.66 = tangente de 33.69º

tangente de γ = 6/4 = 1.5 = tangente de 56.31º

33.69º + 56.31º = 90º

Hipotenusa y catetos

b.

Respuesta:

Nombren los lados que corresponden a la hipotenusa, al cateto opuesto y al cateto adyacente, según el ángulo indicado en el triángulo de la página anterior y calculen las razones trigonométricas y completen la tabla.



  • ¿Qué relación identifican entre el seno de un ángulo y el coseno del complemento del ángulo obtenido de la función seno? El valor es el mismo.
  • ¿Cuál es el coseno de un ángulo que mide 45°? 0.7071

c.

Respuesta:

Nombren los lados que corresponden a la hipotenusa, cateto opuesto y cateto adyacente, según el ángulo indicado en cada uno de estos triángulos.


d.

Respuesta:

Calculen las razones trigonométricas y completen la tabla. Luego, respondan las preguntas y justifiquen cada caso.



  • ¿Qué relación hay entre el coseno de un ángulo y la tangente del del mismo ángulo y el coseno del ángulo complementario? El coseno de un ángulo es igual al producto del coseno del ángulo complemento por la tangente del ángulo complementario.
  • ¿Qué relación se establece entre la tangente de un ángulo y el seno del complemento del ángulo obtenido de la función seno? El producto de la tangente de un ángulo por el seno de su complementario es igual a seno del primer ángulo.
Hipotenusa y catetos

7.

Respuesta:

En pareja, hagan los cálculos y completen la tabla.


  • Obtengan el producto de la tangente de un ángulo de 35° por la tangente de un ángulo de 55°. El resultado es 1.
  • ¿Qué conclusión pueden plantear con base en lo trabajado? El coseno de un ángulo es igual al seno del complemento y viceversa y el producto de las tangentes es 1.

Reto

Respuesta:

  1. En pareja, escriban las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) para cada uno de los triángulos rectángulos.

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