Secundaria. Tercer grado.

Matemáticas 3

Santillana Secundaria

Lección 25. Razones trigonométricas

Respuestas del libro

Ángulos agudos en triángulos rectángulos

1.

Respuesta:

Haz los trazos y responde.


a. Traza un triángulo rectángulo en el que uno de sus ángulos mida 35° y calcula el valor de la tangente para ese ángulo. 0.70

b. Traza un triángulo rectángulo en el que uno de sus ángulos mida 50° y calcula el valor

del coseno para ese ángulo. 0.64



  • ¿Un mismo triángulo puede cumplir con las dos condiciones anteriores? ¿Por qué? No, porque la suma de los dos ángulos agudos no es de 90º.


c. Al trazar los triángulos y al relacionar los lados y los ángulos, un alumno determinó lo siguiente: Sen (35°) =0.5; Cos (50°) = 0.6


  • ¿Estás de acuerdo con lo que obtuvo? ¿Por qué? No, porque el Sen (35°) = 0.57 y Cos (50°) = 0.64

2.

Respuesta:

En pareja, hagan lo que se solicita y resuelvan.


a. La medida de los catetos del triángulo rectángulo isósceles que se muestra es de 5 cm.

  • ¿Cuánto mide la hipotenusa? 7.07 cm.
  • ¿Cuánto mide el ángulo ε? 45° Y el ángulo β? 45°.


b. Calculen el valor del seno, coseno y tangente para el ángulo ε. Expresen la igualdad y completen la tabla.


  • ¿Los valores obtenidos serán los mismos para el ángulo β? ¿Por qué? Porque ambos miden 45°
Ángulos agudos en triángulos rectángulos

a.

Respuesta:

Analicen el ∆ABC, describan todas las características y propiedades que conozcan acerca de este tipo de triángulo. Es equilátero porque sus lados y ángulos miden lo mismo.


  • Obtengan la medida de los ángulos α, β y γ.

α = 60°

β = 60°

γ = 60°

  • ¿Qué tipo de triángulos se forman al trazar una de las alturas del ∆ABC? Triángulos rectángulos.

b.

Respuesta:

Analicen el ∆DEB, apliquen el teorema de Pitágoras y encuentren la medida del cateto opuesto al γ. DE = 4.33 cm


  • ¿Cuánto mide el ∢δ? 30°
  • ¿Cuánto mide el cateto adyacente al ∢γ? 2.5 cm.
Ángulos agudos en triángulos rectángulos

d.

Respuesta:

Determinen el valor del seno, coseno y tangente para el ángulo  y completen la tabla.


e.

Respuesta:

Analicen los valores de seno, coseno y tangente asignados a los ángulos de 30°, 45° y 60°, los cuales son ángulos notables.


  • ¿Qué relación pueden establecer entre los datos que proporciona la tabla con la exploración que hicieron? Coinciden con los valores encontrados.

f.

Respuesta:

Dado el hexágono que se muestra, determinen la medida de su perímetro. 40.2 cm


  • ¿Cuál es la medida de cada uno de sus lados? 6.7 cm
Resolución de problemas con razones trigonométricas

a.

Respuesta:

En la siguiente fi gura, la medida de la tangente del ángulo β es 0.7143.


  • ¿Cuál es la medida de LK o la diagonal del cuadrilátero? 5
  • ¿Qué razón trigonométrica es de utilidad para resolver el problema? Tangente de 35.54 = 0.7143 = CO/7 = 5/7
  • ¿Cuál es la medida del perímetro y del área del cuadrilátero? 31.2 u y 35 u2.

b.

Respuesta:

El ∆ JKL es rectángulo. Se sabe que la medida del coseno del ángulo β mide 0.879.


  • Consideren que las unidades están dadas en centímetros y determinen la medida de la hipotenusa y del cateto opuesto al ángulo β. Validen con sus operaciones el resultado. Hipotenusa = 10.5 cm y cateto opuesto = 5 cm

c.

Respuesta:

En el esquema se muestra la longitud de la sombra que proyecta un edificio en tres horas distintas del día.


  • Si el edificio está representado por el rectángulo JDEK, ¿qué sucede con los ángulos η, θ y τ de las sombras proyectadas en EM? Se reducen conforme avanza la sombra del edificio.
  • Apliquen las razones trigonométricas y determinen la distancia de las sombras que se proyectan en las tres distintas horas.

EF. 2 m

EL. 8 m

EM. 14 m

d.

Respuesta:

Determinen los valores y completen la tabla.


La circunferencia y algunas de las razones trigonométricas

a.

Respuesta:

En el plano cartesiano, traza una circunferencia con centro en el origen, punto C cuya medida del radio sea 10.


  • ¿Cuáles son las coordenadas del punto A? (6,8)
  • Divide el valor de la segunda coordenada entre 10 y escribe el cociente. 0.8
  • Aplica la razón sen α = CO/H y establece la medida de seno de α. 0.8
  • Compara los cocientes que obtuviste en los dos puntos anteriores. ¿Cómo son los valores obtenidos? Son las mismas.
La circunferencia y algunas de las razones trigonométricas

b.

Respuesta:

Traza en la circunferencia anterior los ángulos que se indican y completa la tabla.


Reto

Respuesta:

a. Calculen el valor de las razones trigonométricas a partir del valor de una de ellas.


  • Sen A = 0.4540
  • Cos A = 0.891
  • Tan A= 0.509
  • Sen B = 0.891
  • Cos B = 0.454
  • Tan B = 1.96
  • Obtengan la medida del área y del perímetro del triángulo ABC. Área = 0.202 u2; Perímetro = 2.345 u
  • Obtengan la medida de los ángulos. A = 27° y B = 63°


b. Determinen la medida del largo y ancho del rectángulo. Registren sus operaciones y expliquen el procedimiento que siguieron. Sen de 26.57° = 0.447; DF = 11.18 × 0.447 = 5; FG = 10, aplicando el teorema de Pitágoras.

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