Secundaria. Tercer grado.

Matemáticas 3

Santillana Secundaria

Lección 26. Razón de cambio y pendiente de una recta

Respuestas del libro

Razón consumo-distancia

a.

Respuesta:

Con base en la información proporcionada, ¿qué datos se modelan en el eje de las abscisas? Los litros de gasolina.


  • ¿Qué información se modela en el eje de las ordenadas? Los kilómetros recorridos.

b.

Respuesta:

¿Cuántos litros de gasolina se consumen por 5 km recorridos? 0.41 L


  • Escribe la relación anterior como el par ordenado (x1, y1). (0.41, 5)

c.

Respuesta:

¿Cuántos litros de gasolina se gastan por 10 km recorridos? 0.83 L


  • Escribe la información como par ordenado (x2, y2). (0.83, 10)

d.

Respuesta:

Lee la información teórica y responde las preguntas.


  • A partir de lo anterior, ¿cuál es la razón de cambio del problema planteado? 12
  • ¿Qué representa el resultado anterior? Los kilómetros por litro.
Cálculo de la razón de cambio

b.

Respuesta:

Para obtener la razón de cambio en la gráfi ca A, ¿qué par ordenado (x1, y1) pueden utilizar? ¿Por qué? (100, 40)


  • ¿Qué par ordenado (x2, y2) pueden usar? (200, 20)
  • ¿Cuál es la razón de cambio? r = 20 – 40/200-100 = –20/100 = -0.2

c.

Respuesta:

Para obtener la razón de cambio en la gráfica B, ¿qué par ordenado (x1, y1) pueden emplear? (2, 5)


  • ¿Qué par ordenado (x2, y2) pueden utilizar? (4, 10)
  • ¿Cuál es la razón de cambio? 2.5

d.

Respuesta:

¿Qué otra característica distingue las gráficas? Una es creciente y la otra decreciente.


e.

Respuesta:

  • ¿Qué observan? ¿Qué relación hay con los resultados que obtuvieron antes? Las razones de las gráficas correspondientes son las mismas a las anteriores.
Razón de cambio y la inclinación de la función lineal

3

Respuesta:

¿Qué tipo de función es la que se modela con dicha expresión? Es una función lineal, porque es de la forma y = mx + b

a.

Respuesta:

Supongan que la presa se llena con el cauce de un río que corre de manera constante y que el agua no se utilizará hasta que esta se encuentre a 100% de su capacidad. A partir de esto completen la tabla que indica el nivel del agua para los dos primeros años.


b.

Respuesta:

Comparen los resultados que obtuvieron en la tabla con la siguiente gráfica.


  • ¿La gráfica corresponde a la tabla de valores que obtuvieron? ¿Cómo lo sabes? Sí, por las coordenadas (1, 100) y (2, 185).
  • En la gráfica, ¿de qué manera se registra el tiempo? Por décimos de año.
  • ¿Cuál es el nivel de agua cuando se considera t = 0? 15 m.
  • ¿Qué interpretación le pueden dar a su última respuesta? Representa el nivel del agua que tenía la presa antes de empezar a llenarse.
  • A partir de la gráfica, ¿cuál es la razón de cambio? 85 ¿Qué hicieron para obtenerla? 185-100/2-1 = 85/1

c.

Respuesta:

Si se quiere determinar la razón de cambio por bimestres, ¿cuál es dicha razón entre el primero y el tercero? 85


  • ¿Entre el quinto y el noveno? 85
  • ¿Y del sexto al decimosegundo? 185-100/2-1 = 85
  • ¿Cómo son entre sí los últimos resultados? ¿Cómo se justifica? Son iguales.
  • ¿Cómo se relaciona la razón de cambio con la expresión algebraica, la gráfica y la tabla de valores? Es el valor del coeficiente de t, gráficamente es la pendiente de la recta.
Razón de cambio y la inclinación de la función lineal

a.

Respuesta:

Analicen la gráfica y respondan en su cuaderno.


  • ¿Qué significa que las tres funciones tengan por coordenada (0,15)? Que el nivel del agua al empezar a llenarse es el mismo en los tres casos.
  • ¿Cuál función modela el caso de excesos de lluvia? 125t + 15.
  • ¿Cuál el caso de sequía? 45t + 15.
  • ¿Cuál es la razón de cambio de la función 2 y de la función 3? En la función 2, 125 y en la función 3, 45.

b.

Respuesta:

Retomen la razón de cambio de la función 85x + 15.


  • ¿Cómo es dicha función comparada con la función 2? Es menor.
  • ¿Cómo es en comparación con la función 3? Es mayor.
  • Si la razón de cambio de la función 2 fuera mayor, ¿el tiempo en que el agua alcanza su mayor nivel, aumenta o disminuye? ¿Por qué? Disminuye, porque se llena más rápido.
  • Si la razón de cambio de la función 3 fuera menor, ¿el tiempo en que el agua alcanza el mayor nivel, aumenta o disminuye? Aumenta, se llena más lento.

c.

Respuesta:

Escriban una conclusión acerca de lo que sucede con la inclinación de una función lineal con respecto del eje de las abscisas a medida que la razón de cambio aumenta o disminuye.


El ángulo de inclinación aumenta cuando la razón aumenta y disminuye si esta lo hace.

Razón de cambio en diferentes contextos

a.

Respuesta:

Los equipos tienen un costo medio de $40 000.00 y Rosa vende en promedio cinco equipos mensuales.


  • Según lo anterior, ¿le conviene a Rosa aceptar alguna de las opciones o quedarse con la actual empresa? Argumenten. Le conviene la opción 3, porque obtendría $13 000, contra los $12 000 de su trabajo actual.

b.

Respuesta:

La siguiente gráfica muestra lo que Rosa percibe en su trabajo actual. Tracen las gráficas que corresponden a las tres opciones que le ofrecen.



  • ¿Cuál es la razón de cambio de la opción 1? 1,200
  • ¿Cuál es la razón de cambio de la opción 2? 1,600
  • ¿Cuál es la razón de cambio de la opción 3? 2,000
  • ¿Cuál es la razón de cambio de su trabajo actual? 2,400
Razón de cambio en diferentes contextos

c.

Respuesta:

Aparte del porcentaje que ofrece cada opción, ¿qué otro aspecto diferencia las tres opciones de su trabajo actual? El sueldo base.


  • Si la opción 2 modificara su oferta y le ofreciera un sueldo base de $8 000 y 2% de cada equipo vendido, ¿le convendría? No, obtendría el mismo sueldo.
  • Si la opción 3 modificara su oferta y le mantuviera un sueldo base de $3 000 pero aumentara a 6% la comisión por cada equipo vendido, ¿le convendría? Sí.
  • ¿Qué le conviene más a Rosa: mayor sueldo base o mayor porcentaje por cada equipo que venda? Mayor porcentaje.
  • ¿Qué sucede con la función lineal si aumenta o disminuye el porcentaje por la venta de cada equipo con respecto del eje de las abscisas? A mayor porcentaje la inclinación aumenta.

Reto

Respuesta:

a. ¿Cuál es la temperatura del globo antes de iniciar su recorrido? 20° C.

b. ¿Y cuando este se encuentra a 4 km? 12° C.

c. ¿Cuál es la razón de cambio que se modela en la gráfica? -2

d. A partir de la razón de cambio, ¿cuál es la expresión algebraica que modela la función de la gráfica? –2n + 20

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