Secundaria. Tercer grado.

Matemáticas 3

Santillana Secundaria

Lección 29. Secciones cónicas

Respuestas del libro

Modelaje con frutos

1.

Respuesta:

a. Observen la forma de los frutos y respondan.


  • Alfonsina dice que los frutos que usó se asocian con un cuerpo geométrico, ¿cuál puede ser: esfera, cono o cilindro? Cilindro.
  • Completen la descripción de Alfonsina. La base de los árboles son frutos de forma circular y ovalada.


b. Analicen las imágenes de cada modelo de árbol y respondan.


  • ¿En qué se diferencia la forma de las rebanadas de pepino y las de kiwi empleadas para construir los árboles? En el corte que se hizo a cada fruto, horizontal e inclinado.
  • Completen la descripción de Alfonsina. El árbol de kiwi tiene rebanadas de forma de cilindro recto. El árbol de pepino tiene rebanadas de forma de cilindro oblicuo.
  • Piensen cómo cortó Alfonsina el kiwi y el pepino para obtener las rebanadas de cada árbol. Hagan un esquema para ejemplificarlo en su cuaderno.

2

Respuesta:

a. Describan el cuerpo geométrico que se obtendrá si a un cilindro se le hace un corte paralelo a la base. Otro cilindro.

Modelaje con frutos

2.

Respuesta:

b. ¿Qué forma tendrán las bases del cilindro antes y luego de hacer el corte? Expliquen. Antes de círculo, después de elipse.


c. Concluyan la descripción para el manual de Alfonsina.

  • Para el árbol de kiwi se hacen cortes paralelos a la base.
  • Para el árbol de pepino se hacen cortes oblicuos o transversales a la base.

Cortes a cuerpos cilíndricos

Respuesta:

a. Realicen cuatro cortes oblicuos al cuerpo cilíndrico, consecutivos e iguales a los mostrados en la imagen superior de esta página. Expliquen cómo son las bases del cilindro luego de hacerle cada corte. Elípticas.


c. Describan los cuerpos obtenidos luego de hacer el corte.

Cortes al cono

b.

Respuesta:

  • Si se realiza un corte recto y paralelo a la base de cada cono, ¿qué formas se obtienen? Círculos.
  • ¿Cómo serán entre sí dichas formas? Se forma un cono y un cono truncado.
  • Si el corte no es recto, sino oblicuo a la base, pero es igual en cada cono, ¿cómo son las formas que se generan? Descríbanlas. Elipses.
Cortes al cono

b.

Respuesta:

  • Al cortar un cono cualquiera de manera recta, ¿se obtiene siempre la misma forma? No, depende del tipo de corte.
  • ¿Sucede lo mismo con un corte perpendicular al eje? ¿Y con cualquier tipo de corte? Expliquen. No, las formas que se obtienen son diferentes.

c.

Respuesta:

Observen los cuerpos y sus cortes. Escriban qué forma tiene la cara del cono destacada con azul y cuáles son sus características.


Radios de los cortes al cono paralelos a su base

a.

Respuesta:

  • Discutan si puede establecerse alguna relación entre la medida del radio del cono y su altura. Anoten sus argumentos. En este caso la relación es 5 a 1.
  • Al cortar un cono de forma paralela a la base, este pierde altura; ¿cómo afecta esto a la medida del radio del cono obtenido? Es menor al radio original.

b.

Respuesta:

  • Comparen los círculos que resultan en cada corte y registren sus observaciones. El círculo de la base resultante cada vez es menor.
  • Midan el radio de los círculos obtenidos y completen la tabla.


  • ¿Cuánto mide el radio del círculo superior del cono cuando ha perdido la mitad de su altura? 2 cm. ¿Y cuando ha perdido 3/4? 1 cm.
  • ¿Cuál sería la medida del radio del círculo, si su altura fuera de 22 cm? Expliquen. 4.4 cm, porque la relación entre el radio y la altura es proporcional.
  • Expliquen cuál es la relación entre la pérdida de altura del cono al hacerle a este cortes paralelos a su base, y la medida del radio del círculo formado con el corte. Por cada centímetro que se corta, el radio pierde 0.2 cm.
Radios de los cortes al cono paralelos a su base

6.

Respuesta:

a. Traza la gráfica que representa la relación entre las alturas del cono obtenidas al hacer cortes paralelos a su base, y el radio de los círculos que se van formando.


  • Explica si la medida de la altura y el radio del cono tienen una relación de proporcionalidad y por qué. Sí, porque aumentan o disminuyen proporcionalmente.

7.

Respuesta:

a. ¿Qué figura plana se forma con la altura del cono, el radio de la base y la generatriz? Remárcala y explica sus características. Un triángulo rectángulo.


b. Argumenta por qué se puede afirmar que: Porque la medida de los ángulos no se modifica.


c. Socializa tus argumentos con el grupo y registra los acuerdos. Con base en ello, establece la igualdad entre las razones para obtener la medida del radio al disminuir 2 cm la altura del cono: 40/10 = 38/x

Razón de semejanza para obtener datos del cono

d.

Respuesta:

Al establecer la igualdad entre las razones, ¿pueden obtenerse las medidas que tendrán los radios al hacer cortes consecutivos de x medida al cono? Explica cómo. Sí, mediante regla de tres o encontrando la razón de semejanza.

e.

Respuesta:

Un cono mide 15 cm de altura y tiene una base con un radio de 8 cm. Usa la razón de semejanza para determinar el radio de los círculos formados al hacer los siguientes cortes paralelos a la base.


  • 1 cm - 7.46
  • 3 cm - 6.4
  • 6 cm - 4.8
  • 0.5 cm - 7.73
  • 4.5 cm - 5.6
  • 7.5 cm - 4

8.

Respuesta:

  • Identifiquen en la imagen de la izquierda el triángulo rectángulo formado por la altura, el radio y la generatriz y respondan: ¿con qué valores pueden determinar la medida del ángulo formado por la generatriz y el radio? Por medio de la tangente.
  • ¿Cuál es la medida del ángulo que se genera? 69.44°
  • ¿Qué razón trigonométrica es de utilidad para determinar el valor del radio (x) al hacer un corte paralelo a la base del cono? Sustenten su respuesta. La tangente, porque al dividir la altura entre el radio se obtiene el valor de dicha razón trigonométrica del ángulo correspondiente.


a. Con base en la medida del ángulo y el procedimiento anterior, que involucra el uso de razones trigonométricas, completen la tabla.

Razones trigonométricas para obtener datos del cono

b.

Respuesta:

  • ¿Qué patrón o regularidad pueden identificar en los datos de la tabla? Que son proporcionales.
  • ¿Qué otros procedimientos pueden aplicar para responder lo solicitado? Regla de tres ¿Los datos de la tabla tienen una relación proporcional? ¿Por qué? Sí, porque al hacer cortes, la altura y el radio disminuyen en la misma proporción.
  • De ser afirmativa su respuesta, expliquen de qué tipo de proporcionalidad se trata. Directa.

Reto

Respuesta:

a. Se tienen dos conos, el azul y el amarillo. A ambos se les hacen cortes paralelos a la base de 2 cm.


  • Determina cuántos cortes se deben realizar a cada cono para que en ambos la medida de la altura sea 19 cm. Con esa altura, ¿cuál cono tiene mayor radio? Al azul cuatro cortes y al amarillo nueve. El cono azul, su radio sería de 7.74 m.

Ponte a prueba

Practica lo que aprendiste y
vence estos exámenes de prueba

Ícono

¿Tienes más tarea?

¿Tarea de otro libro?

Paco tiene toda la ayuda que necesitas

Busca tu tarea
Dudas

Dudas del tema

Checa las dudas que han compartido los demás

Todavía no hay preguntas
de este tema
¿Te quedó una duda?

Comparte tu duda con Paco y todos podrán
ver la respuesta en esta página