Secundaria. Tercer grado.

Matemáticas 3

Santillana Secundaria

Lección 30. Volumen de cilindros y conos

Respuestas del libro

Comparación de conos y cilindros

a.

Respuesta:

  • Si un vaso cuesta lo mismo que tres copas, ¿en qué opción se adquiere mayor cantidad de malteada? Expliquen por qué. En las dos opciones se obtiene la misma cantidad.
  • Discutan esta afirmación: “Si el vaso de malteada cuesta lo mismo que las tres copas, entonces, las copas contienen igual cantidad de malteada que el vaso”. ¿Están de acuerdo con ella? Expliquen por qué. La capacidad de un cilindro es igual a tres veces la capacidad de un cono con la misma base y la misma altura, pero esto no necesariamente podría determinar el precio.
  • Planteen una forma de verificar si la afirmación anterior es verdadera o en qué condiciones puede serlo. Escriban sus conclusiones en el cuaderno. Volumen del cilindro, 1 049.68 cm3 y del cono, 349.89 cm3
Comparación de conos y cilindros

c.

Respuesta:

  • ¿Les parece razonable el argumento del equipo 1 para relacionar el cálculo del volumen del prisma con el cálculo del volumen del cilindro? Expliquen por qué. Sí, porque el volumen es igual al área de la base por la altura.
  • ¿Con qué fórmula podemos calcular el volumen de un prisma regular? V = Abh
  • Analicen el procedimiento indicado por el equipo 2, y el argumento que dan para justificarlo. ¿Les parece válido? Sí.
  • Supongan que cortan 100 cilindros de 1 mm de altura y los colocan uno encima del otro. ¿Qué cuerpo se forma y cuál sería su altura? Un cilindro de 10 cm de altura.
  • Expliquen si hay coincidencias entre los procedimientos de los equipos 1 y 2 y el que ustedes plantearon y registren cuáles son. Sí, porque ambos procedimientos permiten obtener el volumen de un cilindro, cuya fórmula es parecida a la de un prisma.

2.

Respuesta:

a. Analicen los prismas regulares y determinen la medida del volumen de cada uno.


20 lados en la base

Lado de la base: 3.1 cm

Apotema: 9.87 cm

Altura del prisma: 10 cm

Volumen: 3 059.7 cm3


10 lados en la base

Lado de la base: 6.2 cm

Apotema: 9.5 cm

Altura del prisma: 10 cm

Volumen: 2 945 cm3


  • ¿Qué prisma tiene mayor volumen? El prisma de veinte lados.


b. El prisma de la derecha: tiene 30 lados en su base. Cada lado mide 2.1 cm, su apotema 9.9 cm y su altura es de 10 cm. ¿Cuál es su volumen? 3 118.5 cm3


c. En todos los prismas trabajados, la medida de los vértices de la base al centro de la misma es de 10 cm.

  • ¿Cuál es volumen de un cilindro con cuyo radio de la base es de 10 cm? 3 141.59 cm3, considerando la misma altura de los prismas.
  • ¿Qué relación observan entre el número de lados de los prismas y su volumen con el volumen del cilindro? Entre más lados tiene la base de un prisma, más se acerca su volumen al de un cilindro.


d. En pareja, relean los procedimientos del inciso c de la página 242.

  • Argumenten si ahora están de acuerdo con que el volumen de un cilindro se puede calcular de forma similar a como se calcula el volumen de un prisma y por qué. Sí, la fórmula es la misma, área de la base por la altura.
Fórmula del volumen del cilindro

3.

Respuesta:

  • Expliquen por qué en la fórmula se escribió πr2 y qué significa cada elemento que integra la expresión. π2 representa la fórmula para el área de la base y h la altura del cilindro.


a. Trabajen en equipo para trazar en su cuaderno los cilindros y calcular su volumen.

  • Cilindro 1 volumen: 9.4248 cm3
  • Cilindro 2 volumen: 75.398 cm3
  • Cilindro 3 volumen: 639.92 cm3

4.

Respuesta:

  • Discutan y propongan un procedimiento para calcular el volumen de un cono. Se multiplica el área de la base por la altura y el resultado se divide entre tres.

5.

Respuesta:

a. Gilberto, un integrante del equipo 1, afirma que para determinar la fórmula para calcular el volumen del cono pueden emplearse los conocimientos sobre las pirámides regulares.

  • ¿Es cierto lo que dice Gilberto? Expliquen por qué. Sí, se utiliza la misma fórmula.
  • Identifiquen a qué cuerpo se refiere esta afirmación: “La altura es la perpendicular que parte del vértice y llega a la base”: A una pirámide.
Pirámides y conos

b.

Respuesta:

  • ¿A qué figura tiende a parecerse el polígono de la base de la pirámide, conforme se incrementa su número de lados? A un círculo ¿Qué relación tiene esa figura con la base del cono? Es la misma que la base de un cono.
  • ¿Cuál es la fórmula para calcular el volumen de una pirámide? Abh/3
  • Con base en lo que han visto hasta ahora, ¿cuál sería la fórmula para calcular el volumen de un cono? La misma, Abh/3.

6.

Respuesta:

a. Discutan si existe alguna relación entre el cilindro y el cono y especifiquen cuál es.

Registren sus conclusiones. El volumen de un cono representa un tercio del volumen de un cilindro con la misma base y altura.


b. Construyan un cono y un cilindro que tengan la misma medida de la base y altura (acuerden las medidas en grupo). Consigan frijol, arroz u otra semilla.

  • Anticipen: si se llena el cono con las semillas, ¿cuántas veces se necesitará vaciar el contenido de este en el cilindro para llenarlo? Tres.
  • ¿Qué parte del volumen del cilindro representará el volumen de cono? Una tercera parte.


c. Llenen el cono con las semillas y vacíenlo en el cilindro. Repitan el procedimiento hasta que el último se llene.

  • ¿Qué relación hay entre el volumen del cilindro y el volumen del cono? El volumen del cilindro es tres veces mayor.

7.

Respuesta:

  • Expliquen qué significado se asocia con el hecho de que “el producto obtenido se divide entre tres” en la fórmula anterior. Que representa un tercio del volumen de un cilindro con la misma base y la misma altura.
Fórmula del volumen del cono

8.

Respuesta:

a. Calculen el volumen de los conos.

  • Cono 1 volumen: 3.1416 cm3.
  • Cono 2 volumen: 25.1328 cm3.
  • Cono 3 volumen: 213.30 cm3.


b. Revisen las actividades 3a y 8a y hagan lo siguiente.

  • Comparen la medida del cilindro 1 con la medida del volumen del cono 1. ¿Cómo son los volúmenes? El volumen del cilindro es tres veces el volumen del cono.
  • Comparen los volúmenes del cilindro 2 y del cono 2, así como los del cilindro 3 y del cono 3. ¿Qué relación hay? La misma que en el caso anterior.


c. Completen la expresión.

Cuando un cilindro recto tiene radio y altura iguales a las de un cono, su volumen es igual a tres veces el volumen de dicho cono.

Fórmula del volumen del cono

d.

Respuesta:

  • Revisen la oferta planteada al inicio de la página 242 y, con base en lo que saben ahora, expliquen qué promoción conviene más adquirir y por qué. Cualquiera de las dos, porque en ambos casos la cantidad de malteada es la misma.

9.

Respuesta:

a.

  • Según los datos anteriores, ¿cuál sería la medida de la base del garrafón? El radio mide 13.9 cm
  • ¿Cuál sería la capacidad del garrafón? 22 690.56 cm3
  • Describan el procedimiento para obtener cada respuesta. Se obtiene el volumen de los 80 vasos y este dato se divide entre la altura del garrafón multiplicada por pi, y finalmente se obtiene la raíz cuadrada de este último dato.


b.

  • Expliquen cuáles podrían ser las medidas del cilindro para que cumpla con la condición anterior. Aproximadamente: 6 cm de radio y 8.85 cm de altura.
  • Si el recipiente cilíndrico y las tres copas contienen la misma cantidad de malteada, ¿cuáles pueden ser las medidas de cada uno? Expliquen. Las mismas, 6 cm de radio y 8.8 cm de altura.

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