Secundaria. Tercer grado.

Matemáticas 3

Santillana Secundaria

Lección 32. Variación lineal y cuadrática

Respuestas del libro

Gráficas y expresiones algebraicas de variación

a.

Respuesta:

Escriban una expresión algebraica que modele la cantidad de árboles que puede descargar cada persona.


  • Samuel: y = 8x
  • Vicente: y = 6x
  • Joel: y = 4x
  • Antonio: y = 10x


  • ¿Qué tipo de función modelan las expresiones algebraicas anteriores: lineal o cuadrática? Justifiquen. Lineales.
  • ¿Cuántos viajes deben realizar para descargar el camión? Expliquen su respuesta. 125 viajes, se divide 3 500 entre el total de árboles que descargan en un viaje.

b.

Respuesta:

  • Seleccionen la gráfica que modela la situación descrita. Argumenten su elección. La gráfica 2.
  • ¿La gráfica modela una situación de proporcionalidad? Expliquen. Sí.
  • ¿Qué tipo de proporcionalidad es? Justifiquen. Directa.
  • ¿Qué diferencias encuentran entre la gráfica 1 y la 2? El valor de las pendientes.
  • Dada la gráfica 2, ¿cuántos árboles descargan las cuatro personas después de realizar 40, 60 y 100 viajes? Argumenten. 1 120, 1 680, 2 800, porque descargan 28 árboles por viaje.
Gráficas y tablas de variación

2

Respuesta:

Sin considerar las pestañas de la caja, ni la tapa, ¿cuánto cartón se requiere para las caras laterales y la base? Expliquen. 1.8 m2, porque la raíz cúbica de 0.216 es 0.6, que representa la longitud del lado de cada cara de la caja.

a.

Respuesta:

Determinen una expresión algebraica que permita conocer la cantidad de cartón que se requiere para las caras laterales y la base de las cajas, sin considerar las pestañas ni la tapa. Argumenten su expresión. 5x2, donde x representa la longitud de los lados de las caras.


  • ¿La expresión algebraica que obtuvieron representa una función lineal o cuadrática? Sustenten su respuesta. Cuadrática.
  • Al graficar la expresión algebraica, ¿se obtiene una línea recta o una curva? Argumenten su respuesta. Una parábola

b.

Respuesta:

Utilicen la siguiente tabla y complétenla con la información que hace falta. Luego, auxiliándose de esos datos, tracen la gráfica correspondiente.


c.

Respuesta:

Analicen la gráfica y contrasten las respuestas que dieron a las primeras cuatro preguntas; en caso necesario, corrijan.


  • ¿Es posible que a partir de algún dato real la gráfica pase por las coordenadas (0, 0)? No.
Modelar con gráficas y expresiones algebraicas

a.

Respuesta:

  • ¿Cuál es el volumen de la cisterna? 10 m3.
  • ¿Cuál es la expresión algebraica que permite modelar la situación? 33x, donde x representa periodos de 15 minutos.
  • ¿La expresión que obtuvieron es una función lineal o cuadrática? Lineal.
  • Construyan en el plano cartesiano 1 la gráfica que modela la situación; elaboren en su cuaderno un registro tabular.

  • ¿Cuánto tiempo transcurre para que en la cisterna entren 132 litros de agua? ¿Y para 660 litros? Una hora. Cinco horas.
  • ¿Cuántos litros de agua se tendrán en la cisterna después de 9 horas? ¿Y si pasan 13 horas? 1 188 L. 1 716 L

b.

Respuesta:

  • ¿Con qué cantidad de ramos no se obtiene ninguna ganancia? Con 22 ramos.
  • ¿Qué tipo de función es la que modela la cantidad de ramos y el precio? Cuadrática.
  • ¿Qué cantidad de ramos de flores es la que se vende a mayor precio? 11 ramos a $121.
  • Obtengan la gráfica que modela la situación en el plano cartesiano. Elaboren un registro tabular.

  • Si Roberto tiene 5, 9 y 18 ramos respectivamente, ¿cuál es precio al que debe venderlos? $85, $117 y $72, respectivamente.
  • Si Roberto vende los ramos a $57, $105 y $120, ¿cuántos ramos de flores tiene? Justifiquen. 19 o 3, 7 o 15 y 10 o 12, respectivamente.
Modelar con gráficas y expresiones algebraicas

a.

Respuesta:

  • ¿Qué tipo de función representa? Lineal.
  • ¿Cuál es la expresión algebraica que modela dicha función? y = 1.8x.
  • ¿Es una recta o curva que pasa por el origen? ¿Qué determina lo anterior? Sí. Lo determina que es una expresión del tipo y = ax.
  • Si esta representa una función lineal, ¿es de proporcionalidad? Sí.

b.

Respuesta:

  • ¿Qué tipo de función representa? Cúbica.
  • Si se gráfica, ¿es una recta o curva que pasa por el origen? Una curva que pasa por el origen.
  • Si esta representa una función cuadrática, ¿es de proporcionalidad? Justifiquen. No, porque es una función cúbica.
  • ¿Cuál es la expresión algebraica que modela dicha función? x3.

c.

Respuesta:

Para comprobar sus respuestas, dada la información de los registros tabulares, tracen la gráfica que modela cada caso en el plano cartesiano correspondiente.


Relación entre gráficas y expresiones algebraicas

5.

Respuesta:

En pareja, escriban cada expresión algebraica junto a la gráfica correspondiente.

• y = 0.5x2 • y = 5x • y = x2 • y = –3x2

• y = 0.5x • y = –3x2 + 5 • y = x

• y = –3x • y = 5x2 • y = –3x + 5

b.

Respuesta:

  • ¿Qué término de una función cuadrática falta para que el vértice esté sobre el eje de las ordenadas, en un punto que no sea el origen? El valor del término lineal.
  • ¿Qué determina que la curva de la función cuadrática abra hacia arriba o hacia abajo sobre el eje de las ordenadas? El signo del término cuadrático.
  • ¿Cuál es el comportamiento de la función cuadrática en la medida que el valor del coeficiente del término cuadrático tiende a ser cero? Se abre más la curva.
Relación entre gráficas y expresiones algebraicas

c.

Respuesta:

  • Considerando las funciones lineales, ¿qué gráficas representan una relación de proporcionalidad? Expliquen. Las expresiones de la forma y = ax; y = 5x, y = x, y = –3x, y = 0.5x
  • ¿Qué gráficas no son de proporcionalidad? ¿Por qué? El resto de las gráficas y la lineal no proporcional y = –3x + 5.
  • ¿Qué gráficas tienen una pendiente negativa? Argumenten. y = –3x + 5, y = –3x.
  • ¿Cuál es el comportamiento de la función lineal en la medida que el valor de la pendiente tiende a ser cero? Justifiquen. Disminuye su ángulo de inclinación con respecto al eje de las abscisas.

Reto

Respuesta:

a.

  • ¿Qué expresión algebraica modela la relación distancia-tiempo? d=110t
  • A partir de los datos de las imágenes, ¿qué tiempo hizo Raúl en ese trayecto? 30 minutos.
  • ¿Cuánto tardó en ir del hotel a su casa? 7 horas 19 minutos.
  • Realicen la gráfica correspondiente a la situación mencionada. ¿Es esta una relación de proporcionalidad? Sí es de proporcionalidad directa.


b. Analicen la gráfica y determinen cuál de las siguientes expresiones algebraicas la modela: I = 400x – 3x2

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