Secundaria. Tercer grado.

Matemáticas 3

Terracota

Áreas de cuadrados sobre los lados de un triángulo

Respuestas del libro

Vetana

Bruno y Marcelo están jugando con figuras geométricas de diferentes tamaños como las que se muestran en la figura 1 y quieren comprobar si es posible o no acomodar dos cuadros como el pequeño en el cuadro más grande.

Respuesta:

a) Se forman triángulos isósceles.

b) Al saber las medidas de los otros lados que ya nos da el cuadrado es posible saber cuánto medirá su base del triangulo.

e) Sí porque un triangulo es lo resultante de la división de un cuadrado.

Manos a la obra

1. Marcelo y Bruno continúan manipulando figuras geométricas y ahora quieren construir un triángulo utilizando los datos de los 3 cuadrados que se pueden ver en la figura dos. tras estos cuadrados en su cuaderno, recorten los y también construyen el triángulo que los compañeros buscan.

Respuesta:

a) Se forman triángulos isósceles.

b) Sí se pueden al dividirlos en más partes.

Tomen el cuadrado más pequeño y divídelo en partes que se muestran en la figura 3 y con el cuadrado de tamaño mediano traten de cubrir toda la superficie del área del cuadrado mayor.

d) Se puede observar que el cuadro no se cubre por completo.

e) Esta situación se debe a que los cuadrados no tienen las mismas dimensiones.

2. En un conjunto habitacional se construyeron 3 edificios departamentos de tal forma que comparten un área común tal y como muestra la figura 4.

Respuesta:

a) Se froma un triangulo rectangulo.

El edificio a mide de lado 40 metros, mientras que el edificio B mide 30 metros de lado; con base en su en sus análisis y conclusiones anteriores, conteste las siguientes preguntas.

b) Sí hay relación ya que los cuadrados plasmados tienen medidas proporcionales entre ellos.

c) La medida de lado del edificio C es de 50 m y su área es de 2500 m2.

d) Se llegó a esta conclusión porque vimos que la medida de los cuadrados iba subiendo proporcionalmente de 10 metros en 10 metros.

Medida

e) ¿Qué relación existe entre un triángulo rectángulo?

Respuesta:

e) La Relación que tienen es que los lados de estos cuadrados forman el triángulo rectángulo del que estamos hablando esto quiere decir que los lados del triángulo tienen las medidas de cada uno de los lados del cuadrado.

f) Si solo pudieran conocer las áreas de dos edificios

Respuesta:

f) Pudiéramos saber el área encontrando la proporcionalidad que existe entre cada uno de los cuadrados y así poder saber la dimensión del cuadrado faltante.

3. Analiza la siguiente superficie del cuadrado similares a las que representan los edificios de la actividad interior. 

Respuesta:

a) Se puede observar que los cuadrados van creciendo exponencialmente.

b) La relación que tienen estos 3 cuadrados con el triángulo que se forma en medio es precisamente esto qué gracias a los lados que restan de los cuadrados podemos formar el triángulo que se ve en el centro.

c) Sí es posible calcular la superficie del cuadro mayor sabiendo los superficies de los otros dos cuadrados porque podemos observar en la imagen que los cuadrados están creciendo o aumentando su tamaño proporcionalmente.

d) Es posible sacar el área de uno de los cuadrados sabiendo de otros dos que no están consecutivamente juntos y eso lo podemos conocer sabiendo la proporcionalidad que existe entre los cuadrados.

Lección 4

4. Analicen los cuadrados internos de las figuras 6 y 7 , con base en los análisis previos y las medidas que se muestran construyen expresiones algebraicas que modelen las áreas de los cuadrados internos de cada figura. 

Respuesta:

a) (a+b)(a+b) o (a+b)2

b) c2 o c*c

c) Si se igualan estas dos expresiones que tenemos no van a tener ninguna relación entre sí ya que tienen diferentes medidas los cuadrados.

d) Sí es posible saber el área de ese cuadrado ya que tenemos los lados de un triángulo que se forma y en ese espacio pequeño y podemos aplicar teorema de Pitágoras para poder sacar el lado faltante.

e) El lado del cuadrado interior de la figura 7 sería 4 y sabiendo esto el área sería un total de 12 unidades cuadradas.

f) Suponiendo que los lados son proporcionales el lado B mediría 4 siendo así el área de ese cuadrado igual a 12 unidades cuadradas.

Vitaminas

Un parque ecológico de la comunidad arboledas cuenta con 3 áreas temáticas para los visitantes. El parque se puede observar en la figura 9.

Respuesta:

a) La medida del lado del cuadrado B es igual a 3.

b) Una de las maneras para calcular este lado es solamente viendo la figura o sacando la proporcionalidad que hay o viendo las medidas de los lados del triángulo interno que se forma y deducir que es un triángulo mágico y así poder sacar el lado que nos falta qué sería del lado B.

c) El área del cuadrado B es igual a 9 unidades cuadradas.

d) Sí es posible calcular el área del otro cuadrado que se forma sí suponiendo que el triángulo interno que se forma es un triángulo mágico.

Para concluir

2. Con base en tus análisis previos contesta las siguientes preguntas:

Respuesta:

a) El lado tiene que medir 7.

b) Lo deduje utilizando los triángulos mágicos.

c) El área 1 es de 9 unidades cuadradas, el área dos es de 25 unidades cuadradas y el área 3 es de 49 unidades cuadradas.

d) Que los lados de los triángulos se pueden formar cuadrados de diferentes medidas.

e) Se necesita saber la medida de los lados de cada cuadrado o la medida de los lados del triángulo que se representa.

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