Secundaria. Tercer grado.

Matemáticas Vol II

Secuencia 21. Diferencias en sucesiones

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Respuestas del libro

Para empezar
Completa la tabla

Respuesta:

manos a la obra
Observen la sucesión de figuras y completen la tabla

Respuesta:

a) Escriban una regla para obtener el total de puntos de la figura de la sucesión que está en el lugar n

Respuesta:

n(n+1)

b) ¿Cuántos puntos tiene la figura 100?

Respuesta:

10100

c) ¿Cuál es el número de la figura que tiene 420 puntos?

Respuesta:

Figura 20

Consideremos lo siguiente
a) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 5?

Respuesta:

30 puntos

b) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 10?

Respuesta:

110 puntos

c) ¿Cuántos puntos tendrá la figura n?

Respuesta:

n = (n x 1) (n)

Manos a la obra
a) Completen la tabla para después calcular las diferencias entre los términos de la sucesión de números rectangulares

Respuesta:

b) ¿Cuál es el sexto término de esta sucesión?

Respuesta:

14

Comparen sus soluciones e identifiquen los puntos que se agregaron al pasar de una figura a la siguiente
a) ¿De qué color son los puntos que se agregaron a la figura 1 para obtener la figura 2?

Respuesta:

Verde y son 4

b) ¿Cuántos puntos y de qué color se agregaron a la figura 2 para obtener la figura 3?

Respuesta:

6 puntos amarillos

c) ¿Cuántos puntos y de qué color se agregaron a la figura 3 para obtener la figura 4?

Respuesta:

8 puntos morados

d) ¿Cuántos puntos se agregarían a la figura 4 para obtener la quinta figura?

Respuesta:

10 puntos

Manos a la obra
a) Completen la siguiente tabla para calcular las diferencias de nivel 2

Respuesta:

b) Todas las diferencias de nivel 2 son iguales a un número ¿de qué número se trata?

Respuesta:

Son iguales a 2

c) ¿Cuántos puntos más tendrá la figura 7 que la figura 6?

Respuesta:

14 puntos más

d) ¿Cuántos puntos en total tendrá la figura 7?

Respuesta:

56 puntos

Consideren ahora la siguiente sucesión de figuras
b) ¿Cúal de las siguientes expresiones algebraicas permite calcular el número de puntos que tiene el triángulo que está en el lugar n?

Respuesta:

a) Una de las siguientes afirmaciones describe correctamente a la sucesión de números triangulares. Subráyenla.

Respuesta:

Cualquier número triangular es la mitad del número rectangular que ocupa el mismo lugar en su respectiva sucesión.

Manos a la obra
c) Completen la siguiente tabla con los números triangualres y las diferencias.

Respuesta:

d) ¿Cómo se comparan las diferencias de nivel 2?

Respuesta:

("comportan") Iguales

¿Por qué creen que suceda esto?

Porque la sucesión formada en las diferencias del nivel 1 aumenta de uno en uno.

a) ¿A la sucesión de los números triangulares le corresponde una expresión general lineal o cuadrática?

Respuesta:

Le corresponde una expresión cuadrática pues hay una multiplicación de n por n en la expresión (n + 1)n / 2

b) ¿Qué expresión le corresponde a la sucesión de las diferencias de nivel 1?

Respuesta:

Le corresponde una expresión lineal, pues el aumento de una posición a otra es constante (1).

Lo que aprendimos
a) ¿Cuál es la expresión general que permite encontrar el número de puntos de la figura que ocupa el lugar n en la sucesión de nñumeros cuadrados?

Respuesta:

La expresión general es n2.

Lo que aprendimos
b) Completen la tabla y las diferencias.

Respuesta:

c) ¿Cuál es la constante que aparece en las diferencias del nivel 2?

Respuesta:

El 2

¿es igual o diferente de cero?

Diferente

Manos a la obra
Para explorar lo anterior completen y analizen la tabla siguiente

Respuesta:

Manos a la obra
Respuesta de la tabla

Respuesta:

a) cuando la expresión general del término enésimo es lineal

Respuesta:

En el nivel 1

b) cuando la expresión general del término enésimo es cuadrática

Respuesta:

En el nivel 2

c) cuando la expresión general del término enésimo en cúbica

Respuesta:

En el nivel 3

Completen las siguientes tablas de acuerdo con la expresión general del enésimo término
a) Expresión general 3n2 +2

Respuesta:

b) Expresión general 3n2 +n

Respuesta:

c) Expresión general -2n2

Respuesta:

d) Expresión general -2n2 +4

Respuesta:

Manos a la obra
a) ¿Para cuáles expresiones generales la constante en las diferencias es 6?

Respuesta:

Para 3n2 +2 y 3n2 +n

b) ¿Qué constante apareció en los casos donde las expresiones generales son -2n2 asi como -2n2+4?

Respuesta:

-4

III. Encuentren las diferencias de cada una de las siguientes sucesiones numéricas

Respuesta:

Completen la tabla siguiente

Respuesta:

A lo que llegamos
a) ¿Qué valor tendrá la constante de las diferencias de nivel 2 cuando la expresión general del término enésimo es 3n2

Respuesta:

6

b) ¿Qué valor tendrá la constante de las diferencias de nivel 2 cuando la expresión general del término enésimo es 1.5n2+2

Respuesta:

3

Consideremos lo siguiente
a) ¿Qué término ocupará el lugar 10?

Respuesta:

193

b) ¿Qué término ocupa el lugar 20?

Respuesta:

783

c) ¿Cuál es la expresión algebraica general del término enésimo de esta sucesión?

Respuesta:

2n2 -n +3

Manos a la obra
a) Completen el siguiente esquema.

Respuesta:

Manos a la obra
Del esquema pueden obtenerse varias ecuaciones que al resolverse permiten obtener los valores de los coeficientes a,b,c

Respuesta:

b) Completen el esquema y resuelvan las ecuaciones que se obtienen al aplicar el método de las diferencias a esta sucesión.

Respuesta:

c) Sustituyan los valores a,b,c en la expresión an2+bn+c y simplifiquen eliminando los paréntesis

Respuesta:

d) Verifiquen si la expresión general cuadrática que obtuvieron funciona para los cuatro primeros términos de la sucesión 4,9,18,31

Respuesta:

Manos a la obra
a) El número 193 pertenece a esta sucesión ¿en qué lugar está?

Respuesta:

Décimo termino.

b) ¿Pertenece 200 a esta sucesión?

Respuesta:

no pertenece

a) Encuentren las diferencias . Completen.

Respuesta:

b) Resuelvan las ecuaciones que se obtienen al aplicar el método de las diferencias a esta sucesión

Respuesta:

c) Sustituyan por los valores a,b,c en la expresión an2+bn+c y simplifiquen

Respuesta:

Comparen sus respuestas y comenten
a) El número 185 pertenece a esta sucesión.

Respuesta:

b) ¿Pertenece 333 a esta sucesión?

Respuesta:

No

Apliquemos lo aprendido
a) Dibuja la figura 5 de la sucesión anterior.

Respuesta:

b) ¿Cuántos cubos tendrá la figura 100 de la sucesión?

Respuesta:

10 000

c) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el número de cubos de cualquier figura que esté en la sucesión?

Respuesta:

n2

d) Si se sabe que una de las figuras que forman la sucesión tiene 2704 cubos, ¿qué número corresponde a esa figura en la sucesión?

Respuesta:

Figura 52

Observa la siguiente sucesión de figuras
a) ¿Cuántos puntos se le agregaron a la figura 2 para formar la figura 3?

Respuesta:

7

b) ¿Cuántos puntos se le agregaron a la figura 3 para formar la figura 4?

Respuesta:

10

c) ¿Cuántos puntos se le agregarán a la figura 4 para formar la figura 5?

Respuesta:

13

d) Encuentra la expresión general cuadrática de los números pentagonales mediante el método de diferencias.

Respuesta:

problemas
e) Plantea y resuelve las ecuaciones para encontrar los valores de a,b,c

Respuesta:

f) Verifica si la expresión general cuadrática que escribiste funciona para las cuatro primeras figuras de la sucesión.

Respuesta:

g) ¿Cuántos puntos tienen las figuras que ocupan los lugares 10 y 15?

Respuesta:

Ejercicios de la gráfica
a) Puntos señalados en la gráfica

Respuesta:

4. Resuelve las ecuaciones para encontrar los valores de a, b, c.

Respuesta:

a) ¿Cuál es la función cuadrática para calcular la ordenada si se conoce la abscisa?

Respuesta:

B) Verifica si funciona la expresión anterior para los puntos(1,-2)(2,-6) y(3,-2)

Respuesta:

c) ¿Cuál es la ordenada del punto de la gráfica que su abscisa es 5?

Respuesta:

d) ¿Cuál es la abscisa del punto de la gráfica que su ordenada es 100?

Respuesta:

Aproximadamente -3.15 y 7.15

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Paco te explica

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Aprende a resolver los ejercicios de esta lección con estas explicaciones

Pregúntale a Paco

Preguntas más populares
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Jared pregunta:

Cómo resolver sucesiones cuadráticas

Paco avatar

Paco responde:

PASO 1: Calculamos las diferencias del 1er. nivel y del 2° nivel, para nuestro ejemplo ya las tenemos.

2,6,12,20,30

4,6,8,10 primer nivel de diferencias

2,2,2 segundo nivel de diferencias


PASO 2:  Utilizamos  la expresión 2a para calcular el valor de a, esta expresión se iguala al valor obtenido para el 1er, término del segundo nivel de diferencias. 2a=2 resolvemos la ecuación =2/2a=1


PASO 3: Utilizamos la expresión  3a + b para calcular el valor de b y sustituimos el valor obtenido para a. Esta expresión  se iguala con el 1er, término del primer nivel de diferencias. 3a+b=4 sustituimos a=1(3)(1)+b =4 multiplicamos 3+b =4 despejamos b b=4-3 b=1.


PASO 4: Utilizamos la expresión a +b+ c para calcular el valor de c y sustituimos los valores obtenidos para a y b. Esta expresión  se iguala con el 1er, término de la sucesión.a +b + c = 2sustituimos a=1 ; b=1 y despejamos c1 + 1 +c = 22 + c = 2c= 2 – 2c= 0


PASO 4:Sustituimos los valores encontrados para a, b y c en la fórmula de la regla. xn=n2+n esta es la regla para la sucesión.


PASO 5: Comprobamos la regla para los dos primeros términos. 


x1=(1)cuadrado2+1

x1=1+1

x1=2 es el valor del 1er termino de la sucesión.


x2=(2)cuadrado2+2

x2=4+2

x2=6 es el valor del 2do termino de la sucesión.

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m pregunta:

Como resuelvo la siguiente sucesión numérica 4,8,23,38

Paco avatar

Paco responde:

4+4 =8 , 8+15=23 , 23+15=38

User avatar

pecas pregunta:

cuantos puntos tendra la figura 5

Paco avatar

Paco responde:

.

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Juli pregunta:

Cuántos puntos tendrá la figura 5?

Paco avatar

Paco responde:

fijate en los lados de la figura 1=1puntos,2=2puntos, 3=3 puntos,4=4 puntos,5=5puntos 

la respuesta es 66 o 56

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