PERIODO 2

Lección 12| Dos incógnitas, dos ecuaciones

Ahora aprenderás a resolver sistemas de ecuaciones de dos incógnitas y dos ecuaciones por distintos métodos: sustitución, reducción e igualación.

Método de sustitución

En este método despejamos una de las dos incógnitas en una de las ecuaciones y la sustituimos en la otra ecuación para encontrar su valor.

Por ejemplo:

1) 4 + x = 2y

2) 2x - y = 1

 a)   Despejamos la “x” en la ecuación 1

4 + x = 2y

-       Como nada más acompaña el 4 a la “x” en el primer miembro de la ecuación, se pasa al segundo miembro con signo contrario y queda la “x” sola en el primer miembro.

x = 2y - 4

-       Y así, ya queda despejada “x”

b)   Se sustituye la “x” en la ecuación 2 por su equivalencia.

2x - y = 1

2 (2y - 4) - y = 1

-       Al colocarlo entre paréntesis significa que el coeficiente 2 tiene que multiplicar a todos los términos dentro de él.

4y - 8 - y = 1

-       Ahora la ecuación 2 quedó con una sola incógnita, así que se puede resolver como una ecuación de primer grado.

-       Encontremos el valor de y:

4y - 8 - y = 1

3y - 8 = 1

3y = 8 + 1

3y = 9

y = 9/3

y = 3

c)    Ahora que ya conocemos el valor de “y”, lo sustituimos en la ecuación 1, para encontrar el valor de “x”

-       Aprovechemos que ya tenemos la “x” despejada en la ecuación 1

x = 2y - 4

x = 2(3) – 4

x = 6 – 4

x = 2

-       Como resultado final, ya tenemos el valor de las dos incógnitas.

x = 2

y = 3

Cabe mencionar que, al iniciar el proceso de resolución por este método, se puede seleccionar cualquiera de las dos incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones.

Siempre se busca la que mejor convenga para que el procedimiento sea más sencillo.

Método de reducción

Se trata de sumar y restar las ecuaciones para simplificarlas y así encontrar los valores de las incógnitas.

Veamos este ejemplo:

1) x - y = 2

    2) 2x + y = 19

a)    Se selecciona la incógnita que tenga los mismos coeficientes en las dos ecuaciones, si no es así, buscamos que así sea, multiplicando la ecuación.

-       Una vez que los coeficientes son iguales, se busca que tengan distinto signo para poder eliminarlos.

-       En este caso, como los coeficientes de “y” son -1 y 1, cumplen con las dos condiciones.

-       Sumamos las dos ecuaciones.

1) x - y = 2

    2) 2x + y = 19

                                                          3x      = 21

(- y) y (+ y) se eliminan.

b)   Se resuelve la ecuación que quedó como una ecuación de primer grado.

3x = 21

x = 21/3

x = 7

c)    Ahora, ya podemos calcular la otra incógnita sustituyendo “x” por su valor en la ecuación 1

x - y = 2

7 - y = 2

- y = 2 - 7

- y = - 5

-       Para que la incógnita “y” no quede negativa, se le quita el signo ( - ) a los dos miembros.

-       Hay que recordar que como una ecuación es una igualdad, si le quitamos o le agregamos una cantidad igual a los dos miembros de la ecuación, la ecuación no se altera, sigue siendo una igualdad.

Y = 5

d)   Y la solución de nuestro sistema de ecuaciones es:

X = 7

y = 5

Método de igualación

En este método lo que hacemos es aislar (dejar sola, separar) una incógnita en ambas ecuaciones, para después igualarlas y obtener su valor.

Se aconseja que la variable que separes ayude a que el procedimiento sea más sencillo..

Tenemos este ejemplo:

1) x - y = 5

   2) x + 2y = -1

a)   Aislamos una incógnita en las dos ecuaciones. En este caso escogemos la “x”, pues en este sistema es la más fácil de aislar.

-       Primero se despeja la “x” en la ecuación 1

1)   x - y = 5

          x = 5 + y

-       Ahora se despeja la “x” en la ecuación 2

2)   x + 2y = -1

        x = -1 - 2y

b)   Ahora, como x = x, podemos igualar ambos despejes obtenidos:

5      + y = -1 -2y

c)    Despejamos “y”

2y + y = -1 - 5

3y = - 6

y = - 6/3

y = - 2

d)   Por último, calculamos “x” sustituyendo “y” en la ecuación 1

x = 5 + y

x = 5 + (- 2)

x = 5 - 2

x = 3

e)   El resultado de nuestro sistema es:

x = 3

y = -2.