Matemáticas

El Crecimiento Exponencial y el Lineal

CRECIMIENTO EXPONENCIAL Y LINEAL MATEMÁTICAS 3° GRADO

 

Crecimiento lineal o aritmético

Ejemplo:

Para comprar un teléfono que cuesta $ 3 000.00, Pedro y Manuel empezaron a ahorrar desde el primer día $ 120.00 diarios, hasta que reunieron el dinero. ¿Cuánto reunieron el primero, segundo, tercero, y cuarto días? ¿En cuánto tiempo tendrán reunido todo el dinero?


Para saberlo se auxiliaron de una progresión, donde anotaron lo que se acumularla diariamente:


En total necesitaron ahorrar durante 25 días $120 para poder comprar el teléfono.


Con lo cual se observa que para el quinto día ya llevaban ahorrado $600.00


Esta variación se puede señalar en la siguiente tabulación:

Se puede notar que el crecimiento diario es una cantidad constante en este caso: 120, al cual se le llama incremento.


Observe en la tabla que al sumar el dinero ahorrado y el incremento se obtiene el valor del siguiente término.


A esta progresión se le da el nombre de crecimiento aritmético y su gráfica es una línea recta.

En resumen se le llama crecimiento aritmético a la progresión cuyos términos aumentan por adición en una cantidad constante llamada razón.

En el ejemplo anterior la razón es + 120.


La progresión puede ser creciente, si la razón es positiva, y decreciente si es negativa.


Ejemplo:


2, 4, 6, 8, 10. Su razón es + 2, por lo tanto, es creciente.


24, 21, 18, 15, 12. Su razón es - 3, por lo tanto, es decreciente.

Crecimiento exponencial o geométrico

Ejemplo: Cuenta una vieja historia que un monarca a quien le gustaba mucho jugar ajedrez dijo a Sissa, creador del juego, que le concedería lo que pidiera.


La petición de Sissa fue un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera y así sucesivamente, hasta la casilla 64.


La petición parecía sencilla, sin embargo, no alcanzaron un poco de trigo, ni un gran plato, tampoco un costal, ni siquiera toda la producción de trigo de la región. Así que el monarca no pudo cumplir su palabra.


Se puede señalar este ejercicio por medio del siguiente diagrama.


Esta progresión puede continuar todavía.


Numéricamente es: 1, 2, 4, 8, 16, 32... y podrá continuar hasta encontrar el término 64 con el que finaliza la progresión.


Si se busca la relación de cada uno de los términos de la progresión se observa que cada elemento es el doble del anterior, por lo tanto, su razón es 2.


La tabulación de la progresión anterior es la siguiente:

Su grafica será:

La cual, como se observa, es una curva.


Este tipo de progresión recibe el nombre de crecimiento exponencial o geométrico.

Se le llama crecimiento exponencial o geométrico a aquella progresión que aumenta por multiplicación de una cantidad constante llamada razón.

Cuando la razón de una progresión exponencial es mayor que uno, se dice que la progresión es creciente; si la razón es menor que uno la progresión es decreciente.


Ejemplos:

3, 9, 27, 81, 243. Creciente, pues su razón es 3


Decreciente. pues su razón es

Los crecimientos ayudan a calcular el incremento de alguna cantidad en situaciones determinadas y tiene aplicaciones en áreas como física, economía y biología, entre otras