Matemáticas

Números reales: representación y operaciones




Números reales: representación y operaciones

Los números reales son los racionales y los irracionales:


Se define a los números reales ® como el conjunto formado por la unión del conjunto de los números racionales (Q) con el conjunto de los números irracionales (Qi). 

Sin olvidar que el conjunto de los números racionales (Q) contiene a los números enteros (Z), y éste a su vez, a los números naturales (N). Es decir: 




Números racionales

Son todos los números que se pueden escribir como fracción de dos entero; es decir, si a y b son números enteros entonces un número que se puede expresar en la forma  es racional, se representa por el símbolo Q: 



El número a se denomina numerador mientras que b es el denominador, significa a partes de b partes iguales.

Todos los números enteros se pueden expresar como la fracción de ellos entre 1, que también es entero, por lo que todos los enteros son números racionales. 




Fracciones equivalentes

Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican por un mismo número diferente a cero, se obtiene otra fracción equivalente a ella.

Por ejemplo, 

 son equivalentes cuando representan un mismo número. Esta propiedad se cumple solo si: 

Por ejemplo, para determinar si las fracciones  son equivalentes: 

 

Fracción propia

Cuando el numerador de una fracción es menor que el denominador, es una fracción propia. Por ejemplo: 

 

Fracción impropia

Es toda fracción en la que el numerador es mayor o igual que el denominador. Por ejemplo: 

 

Número mixto

Es aquel que se compone de un entero y una fracción. Por ejemplo: 

·       Expresión de un número mixto en forma de fracción. 

Todo número mixto puede expresarse en forma de fracción impropia aplicando la siguiente regla: 

Por ejemplo: Para expresar el número mixto en forma de fracción: 

·       Expresión de una fracción impropia a un número mixto.

Al aplicar la siguiente regla: 

Por ejemplo: Para expresar la fracción impropia como un número mixto: 

 

Fracciones homogéneas

Dos o más fracciones son homogéneas si tienen el mismo denominador. Por ejemplo: 

 

Fracciones heterogéneas

Si todas tienen diferentes denominadores. Por ejemplo: 


 

Simplificación de fracciones

La simplificación de fracciones es una de las operaciones matemáticas más importante, consiste en descomponer sus factores primos el numerador y el denominador de la fracciona a simplificar y después cancelar los factores comunes a ambos utilizando la siguiente ley de los exponentes: 

Por ejemplo: Para simplificar la fracción 

 

División de un número racional

La expression decimal de un número racional se obtiene al dividir el numerador entre el denominador. De esto se pueden obtener dos tipos de cocientes: uno con un número finito de cifras (números decimales) y otro con un número infinito (fracción periódica).

Ejemplo de número decimal: si tratamos de dividir 5 galletas entre 2 niños, podremos darle dos galletas a cada uno y la que sobra se parte en dos partes iguales.

 

Ejemplo de fracción infinita o periódica: 

Expresión de un número decimal finito en forma de fracción

 

1.     Se cuentan las cifras de la parte decimal del número “n” para obtener como resultado el número “k”. (Por ejemplo: si n =7.5, se tiene que k =1.

2.     Dependiendo del valor de “k”, se deberá multiplicar al número “n” por 10k.

3.     Se expresa “n” como la fracción de m entre 10k

 


 Expresión de un número decimal periódico en forma de fracción

 

1.     Sea “n” el número que deseamos probar que es racional, entonces, si la parte periódica comienza desde el punto decimal y el número de cifras periódicas es “k”, se debe obtener el producto 

2.     Se realiza la reste de este resultado menos el número original , que en forma factorizada es: 

3.     Despejamos “n” moviendo el valor  de la izquierda del signo de igualdad a la derecha. Dado que en el lado izquierdo se halla multiplicando, pasará al otro lado dividiendoal número “m”:

Por ejemplo:


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