3° SECUNDARIA: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

Al resultado de una multiplicación se le llama producto.

Los productos notables son multiplicaciones algebraicas que se les llama notables porque se pueden resolver utilizando ciertas reglas, sin necesidad de utilizar el procedimiento normal.

1.- Producto de binomio al cuadrado.

También se puede decir el cuadrado de un binomio.

Un binomio es una expresión algebraica que tiene dos términos.

Ejemplo 1

Esta resolución se realizó utilizando el procedimiento normal de una multiplicación algebraica.

Resolución utilizando las reglas de este producto notable.

a) El cuadrado del primer término: a²

b) El doble producto del primer término por el segundo: 2(a)(b) = 2ab

c) El cuadrado del segundo término: 25

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Ejemplo 2

(4a + 2b)² = (4a)² + 2(4a)(2b) + (2b)² = 16a² + 16ab) + 4b²

Resolución utilizando las reglas.

a) El cuadrado del primer término: 4a²

b) El doble producto del primer término por el segundo: 2(4a)(2b) = 16ab

c) El cuadrado del segundo término: 25

Ejemplo 3

(x + 5)² = x² + 2(x)(5) + (5)² = x² + 10x + 25

Resolución utilizando las reglas.

a) El cuadrado del primer término: x²

b) El doble producto del primer término por el segundo: 2(x)(5) = 10x

c) El cuadrado del segundo término: (5)² = 25

Al resultado del producto de un binomio al cuadrado se le llama TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

2.- Producto de binomios conjugados.

Los binomios conjugados se llaman así porque tienen un término común y un término simétrico.

Por ejemplo: (a + b)(a - b)

El término común es “a” ya que se repite en los dos binomios.

El término simétrico es “b”, llamado así por tener signo distinto.

Las reglas de este producto notable son:

a) El cuadrado del término común, menos

b) El cuadrado del término simétrico

Ejemplo 1

Esta es la resolución siguiendo el procedimiento normal de la multiplicación algebraica.

Resolución aplicando las reglas.

a) El cuadrado del término común, menos: a² -

b) El cuadrado del término simétrico: b²

(a + b)(a - b) = a² - b²

Resultado final: a² – b²

Al resultado del producto de binomios conjugados se le llama DIFERENCIA DE CUADRADOS.

Ejemplo 2

(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a² - 9b²

Resolución aplicando las reglas.

a) El cuadrado del término común, menos: 4a² -

b) El cuadrado del término simétrico: 9b²

4a² - 9b²

3.- Producto de binomios con término común.

En el producto (a + b)(a + c) se observa que el término “a” es común a ambos binomios.

Al realizar el producto se obtiene:

(a + b)(a + c) = a² + a(c + b) + bc

Las reglas de este producto notables son:

a)     El cuadrado del término común: a²

b)    La suma algebraica de los términos no comunes por el término común: a(b+c).

c)     El producto de los términos no comunes: bc

Ejemplos:

(x +1)(x - 2)

Aplicando las reglas del producto notable.

x                 Término común

x²                Término común al cuadrado

x(1-2)          Suma algebraica de los términos no comunes por el término común

(1)(-2)         Producto de los términos no comunes

Entonces: (x +1)(x - 2) = x² + x(1 – 2) + (1)(- 2) = x² – x – 2

Otro ejemplo:

(4m - 2)(4m + 4)

Aplicando las reglas del producto notable.

4m                               Término común

(4m)² = 16m²               Término común al cuadrado

4m(-2 + 4) = 8m          Suma algebraica de los términos no comunes por el término común

(- 2)(4) = - 8                 Producto de los términos no comunes

Entonces: (4m - 2)(4m + 4) = 16m² + 4m(-2+4) – 8

(4m - 2)(4m + 4) = 16m² + 8m - 8

3.- Cubo de un binomio.

El cubo de un binomio o binomio al cubo, es una expresión algebraica, formada por dos términos que se pueden sumar o restar; y en la cual las operaciones de (suma o resta) estarán elevadas al cubo.

Para resolver cualquier binomio al cubo o cubo de un binomio tenemos que; primero observar si la operación a realizar es de suma o es de resta.

Luego de ubicar que tipo de operación se debe realizar, seleccionamos la formula indicada para esa operación, y procedemos a resolverla cumpliendo con las reglas que plantea la formula.

Reglas del binomio al cubo.

a)  El cubo del primer término

b)  El triple del producto del primer término al cuadrado por el segundo término

c)  El triple del primer término por el cuadrado del segundo término

d)  El cubo del segundo término.

Formula de la suma de un binomio al cubo

Fórmula de la resta de un binomio al cubo

Ejemplo 1

Aplicando la fórmula: 

x.x.x = X³  El cubo del primer término

3(x)²(5)     El triple del producto del primer término al cuadrado por el segundo término

3(x)(5)²     El triple del primer término por el cuadrado del segundo término

5.5.5 = 5³  El cubo del segundo término.

X³ + 15x² + 75x + 125

Ejemplo 2

Aplicando la fórmula: 

3m.3m.3m = (3m)³ El cubo del primer término

3(3m)²(8)            El triple del producto del primer término al cuadrado por el segundo término

3(3m)(8)²             El triple del primer término por el cuadrado del segundo término

(8)³                    El cubo del segundo término.

27m³ – 216m² + 576m - 512