Matemáticas

Resolución de cuadráticas por factorización


RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN


MATEMÁTICAS 3° SECUNDARIA


Recordemos algunos conceptos para entender este tema:

a)   Se les llama factores a los elementos que se multiplican en una operación de multiplicar. Al resultado se le llama producto.

b)   Factorizar significa convertir una expresión en forma de multiplicación.

c)    Por lo tanto, factorizar un polinomio quiere decir escribirlo como un producto de dos o más polinomios.

 

Una ecuación de segundo grado completa es un trinomio, lo que significa que la resolución de esta ecuación por el método de factorización, es lo mismo que factorizar un trinomio.

 

Para resolver una ecuación cuadrática por este método de factorización, es necesario que se cumplan ciertas condiciones.

1)   Que la ecuación o trinomio esté igualada a cero.

2)   Que esté acomodada como su forma (x2 + bx + c = 0) lo indica.

3)   Que el coeficiente del término cuadrático (x2) sea 1.

 

Ejemplo 1:

Resolver x2 – 2x – 15 = 0

 

Primer paso: revisar que se cumplan las tres condiciones comentadas anteriormente.

-       Primera condición: que la ecuación esté igualada a cero. En este ejemplo, ya está igualada a cero.

-       Segunda condición: que la ecuación esté acomodada como lo indica su forma. En este ejemplo también se cumple esa condición.

-       Tercera condición: que el coeficiente del término cuadrático sea 1. Condición que también se cumple.

 

Segundo paso: se extrae raíz cuadrada al término cuadrático y la raíz obtenida se coloca en los dos binomios o factores que se obtendrán.

 

x2 – 2x – 15 = 0

 

-       La raíz cuadrada de x2 es “x”

 

(x      )(x       )

 

Tercer paso: al primer factor o binomio se le pone el signo del segundo término de la ecuación y al segundo factor o binomio, se le pone como signo, el resultado de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término.

 

(x -     )(x +   )

 

Cuarto paso: se buscan dos números que multiplicados den el tercer término de la ecuación (- 15) y restados den el coeficiente del segundo término de la ecuación (- 2)

 

(x – 5)(x + 3)

 

-       Se observa que (- 5)(3) = - 15     y     (- 5) + (3) = - 2

 

Quinto paso: de cada uno de los binomios obtenidos surgirá una respuesta o solución de la ecuación, para lo cual se igualan a cero.

 

x – 5 = 0                                 x + 2 = 0

 

x = 5                                       x = - 2

 

Ejemplo 2.

Resolver x2 = 2x + 24

 

Primer paso: revisar que se cumplan las tres condiciones comentadas anteriormente.

-       Primera condición: que la ecuación esté igualada a cero. Se tiene que igualar.

 

x2 = 2x + 24

 

x2 - 2x – 24 = 0

 

-       Segunda condición: que la ecuación esté acomodada como lo indica su forma. Al igualarla a cero en el paso anterior, ya cumple esta condición.

-       Tercera condición: que el coeficiente del término cuadrático sea 1. Condición que también se cumple.

 

Segundo paso: se extrae raíz cuadrada al término cuadrático y la raíz obtenida se coloca en los dos binomios o factores que se obtendrán.

 

x2 - 2x – 24 = 0

 

-       La raíz cuadrada de x2 es “x”

 

(x      )(x      )

 

Tercer paso: al primer factor o binomio se le pone el signo del segundo término de la ecuación y al segundo factor o binomio, se le pone como signo, el resultado de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término.

 

(x -    )(x +   )

 

Cuarto paso: se buscan dos números que multiplicados den el tercer término de la ecuación (- 24) y restados den el coeficiente del segundo término de la ecuación (- 2)

 

(x – 6)(x + 4)

 

-       Se observa que (- 6)(4) = - 24     y    (- 6) + (4) = - 2

 

Quinto paso: de cada uno de los binomios obtenidos surgirá una respuesta o solución de la ecuación, para lo cual se igualan a cero.

 

x – 6 = 0                                 x + 4 = 0

 

x = 6                                       x = - 4