Matemáticas

Teorema de Thales

Teorema de Thales Matemáticas 3° secundaria


Teorema, axioma y postulado son conceptos muy relacionados entre sí y que en ocasiones se confunden.


Teorema

Un teorema es una proposición cuya verdad se demuestra. En matemáticas, es toda proposición que partiendo de un supuesto (hipótesis), afirma una racionabilidad (tesis) no evidente por sí misma.


Corolario

Se llama corolario a una afirmación lógica que es consecuencia inmediata de un teorema, pudiendo ser demostrada usando las propiedades del teorema de referencia.

 

Axioma

Un axioma es una proposición tan clara y evidente que se admite sin demostración.

 

La diferencia entre un teorema y un axioma o postulado es que el primero es una verdad comprobable en cambio un axioma es una verdad que se asume como tal pero que no ha sido comprobada.

 

Postulado

Un postulado es una proposición no evidente por sí misma, ni demostrada, pero que se acepta, ya que no existe otro principio al que pueda ser referida.

 

Si la proposición se considera evidente y es aceptada sin demostración previa, se denomina axioma.

 

Semejanza y triángulos semejantes

Debido a que el teorema de Thales se refiere a la semejanza, en especial la semejanza de triángulos, es conveniente recordar estos conceptos.

 

Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma, aunque puedan tener distinto tamaño.

 

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

 

Teorema de Thales

Si en un triángulo ABC se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo inicial.

 




Siempre que el teorema se cumpla, todo se resume en proporcionalidad, o sea "cuantas veces es más grande o menos los lados de los triángulos y en el caso de los ángulos permanecen iguales".


Otra aplicación del Teorema de Thales

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas, son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.


A continuación, damos una figura para ejemplificar el enunciado anterior:

dónde se cumple que ABA′B′ = BCB′C′


Ejemplo:

Dada la figura siguiente, decidir si son o no semejantes los segmentos resultantes.

Como observamos en la figura, las longitudes de los segmentos son los siguientes: (AB = 5, A′B′ = 2); (BC = 10, B′C′ = 4).


Por el Teorema de Tales, se ve que los segmentos de una recta y otra son semejantes gracias a que las razones son iguales:


ABA′B′ = 52 = 104 = BCB′C′


Gracias al Teorema de Tales, podemos calcular la altura de un objeto, por ejemplo, un árbol, mediante el siguiente mecanismo.

  1. Sea “C” la longitud de la sombra del árbol a una determinada hora.
  2. Sea “B” la longitud de la sombra de un objeto pequeño, por ejemplo, un lápiz, en el mismo instante.
  3. Sea “A” la altura del lápiz.


Entonces, se cumple que la altura del árbol, llamada “H”, se obtiene mediante la siguiente igualdad: H = C(AB)