Matemáticas

Volumen de prismas y pirámides

Volumen de prismas y pirámides


El volumen es la medida del espacio que ocupa un cuerpo geométrico.

Para encontrar el volumen de un cuerpo geométrico se deben considerar tres dimensiones: alto, largo y ancho.


Prismas

El volumen de un prisma se obtiene utilizando la siguiente fórmula general:


V = Área de la base por la altura del prisma


V = AB x h


Dependiendo del prisma, será la fórmula utilizada para obtener el área de la base.


Para obtener el área de la base se consideran dos dimensiones: largo y ancho.

La otra dimensión es la altura del prisma.


Explicación



Ejemplos:


1.- Obtener el volumen de un cubo cuya arista o lado mide 4 cm


Como tiene todos sus lados iguales, la fórmula general se aplica de la siguiente manera:


V = AB x h


V = (l x l) x l


Como la medida de cada lado es equivalente a su arista, se acostumbra desarrollar la fórmula general como:


V = a3              


Recordemos que la fórmula general para obtener el volumen de un prisma es:


V = AB x h


Desarrollando la fórmula tenemos:


V = AB (l x l = a2) x h (l = a)


De ahí surge la fórmula más utilizada para obtener el volumen del cubo:


V = a3


Si la arista es igual a 4 cm, entonces tenemos:


V = 43 (4 x 4 x 4) = 64 cm3


Es necesario que expresemos el resultado en unidades cúbicas, ya que se emplean tres dimensiones.



V = 64 cm3



2.- Obtengamos el volumen de un cubo cuya arista mide 8 cm


V = a3


 V = 83 = 8 x 8 x 8 = 512 cm3



3.- Encontrar el volumen de un prisma rectangular que mide 5 cm de ancho, 4 cm de largo y 3 cm de alto.







Aplicamos la fórmula general:


V = AB x h


El área de la base de un rectángulo se encuentra multiplicando la base por la altura, que es lo mismo que el ancho por el largo.


Por lo tanto:


V = (5 x 4) x 3


V = 20 x 3


V = 60 cm3



4.- Obtengamos el volumen de un prisma rectangular que mide 4 cm de alto, 5 cm de largo y 5 cm de ancho.




Aplicamos la fórmula general:


V = AB x h


El área de la base de un rectángulo se encuentra multiplicando la base por la altura, que es lo mismo que el ancho por el largo.


Por lo tanto:


V = (5 x 5) x 4


V = 25 x 4


V = 100 cm3




Pirámides

La fórmula general para encontrar el volumen de una pirámide es:


V = Área de la base por la altura de la pirámide y el resultado se divide entre tres.

V = AB x h

          3



Ejemplos


1.- Obtener el volumen de una pirámide cuadrangular cuya base mide 4 cm por lado y la altura de la pirámide mide 7 cm




Aplicando la fórmula general:


V = AB x h

         3


Primero obtenemos el área de la base de la pirámide.

La base es un cuadrado.

El área de un cuadrado se obtiene multiplicando lado por lado.


V = (l x l) x h

           3


V = (4 x 4) x 7

            3


El resultado 16 se multiplica por la altura 7 y finalmente ese producto se divide entre tres.


V = 16 x 7

          3


V = 112

        3


V = 37.33 cm3




2.- Calculemos el volumen de la siguiente pirámide triangular.


Aplicando la fórmula general:


V = AB x h

          3


Primero obtenemos el área de la base de la pirámide.

La base de la pirámide es un triángulo equilátero (tiene sus tres lados iguales).


El área de un triángulo se obtiene multiplicando base por altura y el resultado se divide entre dos.


V = (b x h/2) x h

            3


Como el triángulo equilátero tiene sus tres lados iguales, la base y la altura de este triángulo miden lo mismo.


V = (5 x 5/2) x 9

            3


Se multiplica 5 x 5 y se divide entre dos: 5 x 5 = 25 ÷ 2 = 12.5


El resultado 12.5 se multiplica por la altura 9 y finalmente ese producto se divide entre tres.


V = 12.5 x 9

          3


V = 112.5

        3


V = 37.5 cm3



2.- Obtengamos el volumen del siguiente cilindro:



Aplicando la fórmula general:


V = AB x h

         3


Primero obtenemos el área de la base de la pirámide.

La base de la pirámide es un círculo.


El área de un círculo se obtiene con la siguiente fórmula: A = Л x r2


Entonces, la fórmula general desarrollada queda así:


V = (Л x r2) x h

             3


Primero resolveremos el área de la base que es un círculo.


A = Л x r2


Л = 3.1416


A = 3.1416 x 42


A = 3.1416 x 16


A = 50.2656 cm2


Entonces ahora la fórmula general desarrollada queda de la siguiente manera:


V = (50.2656) x 10

            3


El resultado 50.2656 se multiplica por la altura 10 y finalmente ese producto se divide entre tres.


V = 502.656

         3

V = 167.552 cm3



3.- Calculemos el volumen del siguiente cilindro.


Aplicando la fórmula general:


V = AB x h

         3


Primero obtenemos el área de la base de la pirámide.

La base de la pirámide es un círculo.

El área de un círculo se obtiene con la siguiente fórmula: A = Л x r2


La fórmula general desarrollada queda como sigue:


V = (Л x r2) x h

             3


Primero resolveremos el área de la base que es un círculo.


A = Л x r2


Л = 3.1416


A = 3.1416 x 72


A = 3.1416 x 49


A = 153.9384 cm2


Entonces ahora la fórmula general desarrollada queda de la siguiente manera:


V = (153.9384) x 12

                 3


El resultado 153.9384 se multiplica por la altura 12 y finalmente ese producto se divide entre tres


V = 1847.2608

             3


V = 615.7536 cm3