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LA RESPUESTA:
4. Comenta con un compañero cómo calcularían la medida de los ángulos internos de un polígono regular con n lados y justifiquen su procedimiento.
a) ¿Cómo son entre sí los ángulos internos de un polígono regular?
1. Suma de Ángulos Internos: Primero, utilizamos la fórmula para encontrar la suma total de los ángulos internos del polígono, que es (n - 2) × 180°.
2. Ángulo Interno de un Polígono Regular: Dado que en un polígono regular todos los ángulos internos son iguales, dividimos la suma total de los ángulos internos entre el número de lados. Esto nos da la medida de un ángulo interno.
La fórmula para encontrar la medida de un ángulo interno A sería:
3. Justificación: La fórmula para la suma de los ángulos internos se basa en el hecho de que un polígono se puede dividir en triángulos, donde cada triángulo tiene una suma de ángulos de 180°. Un polígono de n lados se puede dividir en n − 2 triángulos. Por tanto, la suma de los ángulos internos del polígono es n − 2 veces 180°
a) Al ser un polígono regular, todos los ángulos internos son iguales, por lo que la suma de los ángulos se divide equitativamente entre los n ángulos.
Ejemplo:
Si tenemos un polígono regular de 5 lados (un pentágono), la suma de sus ángulos internos sería (5−2) × 180° = 3 × 180° = 540°.
Luego, la medida de cada ángulo interno sería 540°/5 = 108
5. En equipo, lean la definición de ángulo externo y respondan tomando en cuenta la siguiente figura.
a) De los ángulos marcados, ¿cuáles son ángulos externos del triángulos?
b) ¿Cuántos ángulos externos del triángulo encontraron?
c) ¿Qué relación tienen los ángulos ∠4 y ∠6?¿Y los ángulos ∠7 y ∠9?
a) Los que están en color verde.
b) 9
c) Son iguales. Se le llaman ángulos opuestos por el vértice.
Un ángulo externo en un triángulo es aquel que se forma al extender uno de los lados del triángulo. Es adyacente y suplementario al ángulo interno en el vértice del cual se extiende.
a) Identificar los ángulos externos del triángulo en la figura.
b) Contar el número de ángulos externos del triángulo.
c) Determinar la relación entre los ángulos externos e internos dados.
a) Identificación de Ángulos Externos:
Los ángulos externos son aquellos que están fuera del triángulo, formados por la extensión de uno de sus lados. En la figura, los ángulos externos son:
b) Conteo de Ángulos Externos:
Contando los ángulos identificados anteriormente, encontramos un total de 4 ángulos externos.
c) Relación entre Ángulos Externos e Internos:
Los ángulos ∠4 y ∠6 son ángulos externos del mismo vértice B y por lo tanto, son iguales entre sí porque están formados por la misma línea recta que se extiende desde el lado del triángulo.
Los ángulos ∠7 y ∠9 son ángulos externos del mismo vértice C y, por la misma razón que los ángulos en B, también son iguales entre sí.
Además, cada ángulo externo es suplementario con el ángulo interno adyacente del triángulo. Esto significa que la suma de un ángulo interno y su externo adyacente es 180°.
Por ejemplo, el ángulo 5 (interno) y el ángulo 6 (externo) en B son suplementarios, lo mismo aplica para el ángulo 3 (interno) y el ángulo 7 (externo) en C. Esto implica que:
∠5 + ∠6 = 180
∠3 + ∠7 = 180
6. Deduzcan cuánto suman las medidas de las siguientes parejas de ángulos adyacentes sin usar transportador. Después, lean la información.
A=80 º
1=100º
2=80º
3=100º
B= 55º
4=125º
5=55º
6=125º
C=45º
7= 135º
8=45º
9= 135º
a) 180+125=305
b) 180+125=305
c) 180+135=315
d) 180+135=315
e) 180+100=280
f) 180+100=280
Los ángulos adyacentes que forman una línea recta suman 180 grados.
Encontrar la suma de las medidas de las siguientes parejas de ángulos adyacentes.
Como la suma de las medidas de los ángulos internos y externos del vértice de un polígono es 180º. Teniendo en cuenta esto, es como se calcula la suma de las medidas solicitadas en el ejercicio.
a) ∠ABC + ∠4
Dado que el ángulo 4 y el ángulo ABC son adyacentes y forman una línea recta, su suma es 180 grados.
b) ∠ABC + ∠6
De la misma forma, el ángulo 6 y el ángulo ABC son adyacentes y forman una línea recta, por lo que su suma es 180 grados.
c) ∠BCA + ∠7
El ángulo 7 y el ángulo BCA son adyacentes y forman una línea recta, así que su suma es 180 grados.
d) ∠BCA + ∠9
Igualmente, el ángulo 9 y el ángulo BCA son adyacentes y forman una línea recta, por lo que su suma es 180 grados.
e) ∠CAB + ∠1
El ángulo 1 y el ángulo CAB son adyacentes y forman una línea recta, entonces su suma es 180 grados.
f) ∠CAB + ∠3
Finalmente, el ángulo 3 y el ángulo CAB son adyacentes y forman una línea recta, así que su suma es 180 grados.
Entonces, las respuestas son:
a) ∠ABC + ∠4 = 180 grados
b) ∠ABC + ∠6 = 180 grados
c) ∠BCA + ∠7 = 180 grados
d) ∠BCA + ∠9 = 180 grados
e) ∠CAB + ∠1 = 180 grados
f) ∠CAB + ∠3 = 180 grados
Esta propiedad se basa en la definición de ángulos adyacentes y es un principio básico de la geometría plana.
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